Repartindo unha torta

Quen non se viu envolto algunha vez nesta situación: repartir unha torta entre dúas persoas lambonas de tal xeito que ningunha delas queda insatisfeita por pensar que a outra quedou cun anaco máis grande. Eu son un larpeiro de manual e non teño problema ningún en recoñecer que se considero que o meu anaco é máis pequeno, vou mirar para o outro con envexa e proceder a queixarme.

O sistema para facer esa repartición de forma xusta creo que é bastante coñecido, baséase na estratexia «eu corto, ti elixes» (figura 1). Consiste en que unha das dúas persoas, dá igual cal, corte a torta en dous pedazos que considere iguais. Que o pense ben antes de usar o coitelo porque debe facelo de maneira que non lle importe con cal dos dous anacos acabe quedando. Así, a outra persoa pode escoller despois cal dos dous prefire. Con este método ningunha das dúas comellonas deberían sentir envexa da outra, quedando por tanto ambas compracidas e saciadas.

Pero, como se realiza a repartición desa mesma torta se son máis de dúas as persoas involucradas? Nese caso non só o método non é tan obvio, senón que se volve decididamente complicado. O obxectivo debe ser o mesmo: que ninguén proteste por quedar coa sensación de que outro levou unha parte máis grande. Este é un problema do que se encarga a teoría matemática da división xusta, que poderiamos encadrar dentro da máis extensa teoría de xogos, unha rama da matemática aplicada que experimentou un gran pulo durante o século XX¹.

Os primeiros traballos relacionados coa división xusta debémosllos a Hugo Steinhaus (1887 – 1972), Stefan Banach (1892 – 1945) e Bronislaw Knaster (1893 – 1980). Obviamente, esta teoría non só se aplica á hora de cortar unha torta, senón que atopa usos en calquera problema de división dun conxunto de bens en varias partes. Dende a xestión do tráfico aéreo até a explotación dos satélites arredor da Terra, pasando por herdanzas ou acordos de divorcio, son moitas as situacións nas que hai que acordar unha repartición que satisfaga a todas as partes.

Cando os matemáticos se mergullan na resolución dun problema sempre buscan caracterizalo mediante o estudo das propiedades que o definen. No caso dos repartimentos cómpre saber se o obxecto que se quere partir é homoxéneo ou heteroxéneo. Estaremos no primeiro caso se cada anaco se valora só polo seu tamaño ou cantidade (pense en diñeiro, por exemplo), mentres que será heteroxéneo se caben valoracións diferentes, incluso subxectivas. Este podería ser o caso dunha torta que teña máis chocolate por un lado ca por outro (e a vostede encántalle o chocolate) ou que teña zonas decoradas con azucre en po (que a min non me presta). É dicir, que neste último tipo de situacións é posible que persoas distintas teñan preferencias diferentes sobre distintas zonas da torta… o cal pode dar, segundo baixo que circunstancias, en mellores resultados á hora de facer a repartición.

Por outro lado, que significa que a división sexa xusta? Basicamente, que se hai n persoas que queren comer da torta, a repartición é ‘proporcional’ se todas elas valoran o anaco que lles toca como unha fracción do total maior ou igual que 1/n. Se son catro amigos, ningún quere que lle toque menos dun cuarto da torta. E dise que a división é ‘libre de envexa’ se todas as partes involucradas quedan satisfeitas, é dicir que, como diciamos antes, ninguén protesta por quedar coa sensación de que outro levou un anaco máis grande. O método «eu corto, ti elixes» para dúas persoas que explicamos antes é precisamente proporcional e libre de envexa, como sería desexable.

Se ben os traballos de Steinhaus, Banach e Knaster deron inicio a esta parcela das matemáticas, os seus esforzos non foron suficientes para debullar un sistema para tres persoas que fose proporcional e libre de envexa. Ben, Steinhaus atopou un método que era proporcional, pero non libre de envexa. E Banach e Knaster propuxeron outro para catro ou máis persoas que tiña esas mesmas características, polo que sendo útil non era para nada o ideal. Na década dos sesenta John Selfridge (1927 – 2010, á esquerda na figura 2) e John Horton Conway (1937 – 2020, á dereita na figura 2) atoparon, independentemente o un do outro, un método para repartir entre tres persoas que resultaba ser libre de envexas.

Pero antes de coñecelo, vexamos por que a opción «eu corto, ti elixes» non funciona para tres. Supoñamos que Alba, Bea e Carlos queren repartir unha torta homoxénea, de tal xeito que Alba a parte en tres partes que ela considera iguais para que logo Berta elixa unha e a continuación Clara escolla unha das dúas que queda, deixando a outra para Alba.

Iso non funciona porque pode ocorrer que Carlos e Bea valoren que un dos anacos cortados por Alba é claramente máis grande que un terzo do pastel -e por tanto preferible sobre os outros-, polo que Bea tomaría ese e iso significaría que Carlos remataría insatisfeito, mirando para Bea con envexa. Así que este método non nos vale cando hai máis de dúas persoas no allo.

Así que precisamos botar man do método de Selfridge e Conway, que se executa como segue:

• Alba corta a torta en tres partes que considera xustas.

• Despois Bea ten dúas opcións:

  • non facer nada, se pensa que hai ou dous ou tres anacos que empatan como o máis grande.

  • recortar o anaco máis grande para crear un empate, se pensa que un deles ten maior tamaño que os outros dous. Neste caso o recorte apártase para o final.

• A continuación, Carlos escolle o anaco que el considera máis grande.

• Quenda para Bea. Se antes tivo que recortar un dos anacos e este segue dispoñible, debe elixilo obrigatoriamente. De non ser así, elixe o máis grande dos dous que quedan tras a escolla de Carlos.

• A Alba tócalle o último anaco.

Nesta fase do método fíxose unha repartición de tres anacos divididos de forma libre de envexas. Alba quedou cun dos anacos orixinais (non lle puido chegar o que recortou Bea), que consideraba xustos. Bea quedou cun anacos que consideraba como máis grande, mentres que Carlos non pode sentir envexa de ninguén porque foi o primeiro que elixiu un anaco.

Falta ver que se fai co recorte restante, se é que existe porque Bea se viu na tesitura de ter que recortar un dos anacos. Se non tivo que facelo, o reparto xa rematou. De haber ese recorte, partimos de que na primeira fase os tres están satisfeitos e, entón, Carlos divide o recorte en tres partes que considera iguais. Escollen, por orde, Bea, Alba e Carlos, tomando cada unha o anaco que valore coma o maior. Isto tamén é xusto. Por que? Pois porque Bea é agora a primeira en elixir, non pode envexar o anaco de ninguén. E porque Alba non pode envexar a Bea porque ao principio pensaba que os tres anacos orixinais eran xustos (e vai levar máis ca iso ao engadir un pedazo do recorte a un dos orixinais), nin tampouco a Carlos porque escolle no reparto do recorte antes ca el. E porque Carlos nesta última fase foi o que dividiu o recorte en anacos que consideraba xustos, polo que non ten queixa.

Con este sistema de Selfridge-Conway o problema de repartir entre tres xa está resolto. Non obstante, non funciona se o número de persoas é maior ca tres. Para iso houbo que agardar até os noventa, cando Steven J. Brams (n. 1940) e Alan D. Taylor (n. 1947), coa axuda de William S. Zwicker (n. 1949) e Frederick W. Galvin (n. 1936), deseñaron unha solución libre de envexas que serve para calquera número de persoas. Iso si, traela aquí excede un chisco os obxectivos destas páxinas. Para que vostede se faga unha idea da complicación que suporía a súa explicación, o que si lle conto é que este sistema non permite predicir nin cal é o número de pasos do algoritmo nin cal é o número de cortes que se precisa. Ambas cantidades dependen da torta e das preferencias das persoas que escollen.

Para non deixalo en branco, resumireino un pouco. Este método é equivalente á primeira fase do de Selfridge-Conway para tres persoas, pero unha vez que se reparte o recorte simplemente emprega o mesmo método outra vez, pero reordenando a secuencia de eleccións de forma que o algoritmo non continúe indefinidamente, senón que sempre acabe por deterse. Incluso para catro xogadores resulta de gran complexidade, até vinte pasos entre os que se atopa unha longa secuencia de decisións de recortar e escoller por parte de varios xogadores en cada quenda, e sorprendentemente aparece algunha vez a idea de empregar máis partes que xogadores.

Vamos, que se o que vostede quere repartir entre catro ou máis persoas é algo tan intranscendente coma unha torta de aniversario, igual lles compensa facelo a ollo e asumir que alguén quede cunha migalla de envexa.

Algunhas referencias:

• Brams, Steven J. e Taylor, Alan D. (1996). Fair Division. From Cake-Cutting to Dispute Resolution. Cambridge University Press, Cambridge.

• Iglesias, David e González, Carlos. Café y teoremas, blog de El País.

  <https://elpais.com/ciencia/cafe-y-teoremas/2023-01-05/como-repartir-el-roscon-de-reyes-de-forma-justa.html>

• Stewart, Ian (2020). Locos por las matemáticas. Pasatiempos y juegos matemáticos. Editorial Planeta, Barcelona.