Le o meu blog

Paulo González Ogando

O paradoxo da amizade

por

Xa teño falado nalgunha ocasión de teoría de grafos: unha rama das matemáticas que, curiosamente, ten a súa orixe nun problema moi concreto, o das pontes de Königsberg. Pero como hoxe non quería falarlle del, senón do paradoxo da amizade, limítome a lanzar o guante en espera de que vostede queira recollelo. Hai moitas referencias para profundar nel, pero permítome recomendarlle a de López e Fornals (2019), que o explican de forma moi sinxeliña, tomándoo como escusa para falar de matrices. Tres séculos despois de que Leonhard Euler (1707 – 1783) resolvese ese problema, na actualidade a teoría de grafos é unha das linguaxes máis potentes para describir redes, conexións e relacións.

Ler máis

O ritmo dos partidos

por

Ten vostede un anaco libre? Se é así, faga o seguinte exercicio (e se non, salte esta liña e siga no parágrafo seguinte): revise un partido da Copa Mundial de Fútbol de 1966 (nesta ligazón está a final) e, a continuación, faga o mesmo cun máis recente (nesta ligazón está a final do torneo de 2018). Aprecia algunha diferenza? Salvando o contraste obvio entre a calidade de imaxe dun e outro vídeo, e tamén as disparidades estilísticas, no puramente futbolístico que opina sobre o ritmo, a velocidade, o dinamismo do xogo? En comparación co fútbol actual, os xogadores de hai sesenta ou setenta anos parecen xogar cunha parsimonia hoxe descoñecida. Moito evolucionou o ritmo dos partidos.

Ler máis

Un paradoxo no Quijote

por

El ingenioso hidalgo Don Quijote de la Mancha é a obra máis universal da literatura española, e Miguel de Cervantes o seu celebrado autor. Sempre que sae unha listaxe dos libros máis vendidos da historia, o Quijote está moi alto na clasificación; se acudo á Wikipedia atópoo incluso no primeiro posto. Non creo que exista ningunha referencia fiable de cantos exemplares puido vender, o único seguro é que son máis que os que se venderon dos meus libros. Incluso aínda que os sume todos.

Ler máis

O paradoxo do corvo

por

O método científico consiste na observación sistemática da realidade, a partir da cal se establece unha hipótese, procedendo a deseñar probas para tratar de refutala ou confirmala. Tras analizar os resultados, a hipótese ou ben se dá por válida ou ben se descarta, existindo tamén o termo medio de modificala e repetir o proceso.

Había unha vez unha moza, imos chamala M, que estaba a estudar o método científico na escola e por iso descubriu o paradoxo do corvo. Un bo día, dando un paseo polo campo, observou un paxaro. Era un corvo. E era negro. Nese momento M conxecturou que «todos os corvos son negros». Ese mesmo día, até que volveu a casa, reparou en oito corvos máis. Todos eran negros, polo que M considerou que a súa hipótese estaba debilmente confirmada.

Ler máis

As quendas de penaltis

por

As quendas de penaltis son un procedemento empregado no fútbol (e noutros deportes; si, existe algún que outro ademais do fútbol) para decidir o gañador dunha eliminatoria que remata en empate tras o tempo regulamentario e, de ser o caso, a prórroga. No fútbol, consiste en que cada equipo executa, de forma alternada, unha serie inicial de cinco lanzamentos dende o punto de penalti: un tiro directo fronte ao porteiro rival, sen defensas (figura 1). O equipo que marca máis goles tras eses cinco intentos resulta vencedor; de persistir a igualdade continúase cunha morte súbita de lanzamentos sucesivos até que nunha mesma rolda un equipo marque e o outro falle. É un método que introduce gran tensión e emoción, pois cada disparo pode ser decisivo.

Ler máis

O paradoxo do día da semana inesperado

por

Teño lido varias versións distintas do paradoxo do día da semana inesperado que, en realidade, veñen ser todos o mesmo porque se basean nunha mesma situación. Non lle sei ningún nome alusivo que se empregue habitualmente, máis ben semella que cada versión ten o seu propio bautismo, coma o paradoxo do exame sorpresa, o paradoxo do aforcamento inesperado ou o paradoxo do regalo sorpresa (véxase na referencia de Bunch). A variante que vou contar aquí é a que tal vez se poida trazar como a orixinal, ou polo menos a primeira da que parece terse constancia. De todos os xeitos, como non creo que teña especial relevancia a cal das versións nos acheguemos, nestas liñas eu só lle vou contar unha a vostede, e déixolle as ligazóns anteriores por se quere coñecer outras.

Ler máis

Os números de Gregory

por

Antes de introducir os números de Gregory, partamos da figura 1. Ao situarnos no vértice da esquerda, hai un camiño ascendente e outro descendente; o ascendente ten pendente \frac{1}{3} e o descendente ten pendente \frac{1}{2}. O obxectivo é achar o ángulo total entre ambos os camiños, é dicir, a medida do ángulo \alpha + \beta.

Ler máis

Halley, moito máis que un cometa

por

Se lle falo a vostede de Halley, a ben seguro que o primeiro que lle vén á cabeza é o cometa Halley: un corpo celeste que orbita arredor do Sol cada 75 anos, aproximadamente. A última vez que deu un paseo observable dende a Terra foi en 1986, e agardámolo de novo para 2061. A partir dunhas observación realizadas ao paso do cometa en 1682, Edmund Halley (1656 – 1742) empregou as leis do movemento de Isaac Newton (1643 – 1727) para ser o primeiro en calcular a órbita do cometa. Por iso é que na súa honra se lle puxo o seu nome a este cometa, probablemente o máis famoso da súa condición.

Ler máis

Implementando métodos numéricos con GeoGebra

por

Título: Implementando métodos numéricos con GeoGebra.

Autoría: Paulo González Ogando.

Data do relatorio: 17 de outubro de 2025.

Lugar: X Congreso de AGAPEMA, celebrado en Lugo.

Ligazón á presentación: <https://paulo.gal/geogebra/agapema_congreso_x/>

Ler máis

O paradoxo da área do triángulo

por

Moito dubidei con este apartado á hora de etiquetalo, pois non sabía se incluílo cos paradoxos ou cos entretementos xeométricos. Tanto ten, no fondo, como clasifiquemos este paradoxo da área do triángulo, pois en todo caso o peor que pode ocorrer é… que teñamos dobre diversión!

Ben, en realidade, se nos poñemos técnicos, este paradoxo da área do triángulo non é un paradoxo. Se por tal cousa entendemos unha afirmación en aparencia verdadeira que inclúe unha autocontradición lóxica, podemos descartar que se trate dunha situación dese tipo, xa que unha análise concienciuda (máis ben, uns poucos cálculos) convéncenos enseguida de por que os ollos nos enganan nun primeiro momento.

De todos os xeitos, a situación vai seguir o mesmo esquema tipo de outros paradoxos dos que temos falado aquí: formulación do problema – sorpresa, sorpresa, como demos pode ocorrer iso? – explicación. Así que vai no caixón dos paradoxos, basta con adoptar a máxima de “na miña casa, as miñas regras”. E se a vostede non lle gusta, non lea (ui, non quería dicir iso oh, non se me alporice, non se me marche, lea lea, que hai suficientes entradas para que algunha lle preste). Veña, que imos: velaquí o paradoxo da área do triángulo.

Ler máis

Canto corre un futbolista

por

Existe certo consenso en que o fútbol é un deporte de bastante esixencia física. Non é que sexa o máis duro (o rugby ou o fútbol americano son máis brutais, a ximnasia rítmica máis técnica e meticulosa, o tríatlon máis extremo etc.), pero hai que recoñecerlle que é de alta intensidade. Integra resistencia, forza, contactos e presión mental e, sobre todo, involucra distintos tipos de esforzo e require frecuentes arranques explosivos: os e as futbolistas están constantemente acelerando e desacelerando, á vez que alternan esprintes de 2-3 metros e de 30-40 metros. Entón, canto corre un futbolista?

Ler máis

¿Podemos acercarnos a la estadística con GeoGebra?

por

Título: ¿Podemos acercarnos a la estadística con GeoGebra?

Autoría: Paulo González Ogando.

Data de publicación: xullo de 2025.

Ligazón ao artigo: <https://drive.google.com/file/d/1IFVuNuXB27s8HWy8U1y0bus0WOkDdr3J/view>

Revista: Números, editada pola Sociedad Canaria “Isaac Newton” de Profesores de Matemáticas.

Ler máis

O paradoxo de San Petersburgo

por

Xa teño referido en máis ocasións que o cálculo de probabilidades resulta contraintuitivo con bastante frecuencia. Seguramente sexa o campo das matemáticas que máis experimenta esta característica. Neste mesmo blog xa desfilaron a falacia da acusación ou o paradoxo de Bertrand, e nos Bocados Matemáticos (Edicións Xerais, 2022) tamén recollín o paradoxo de Ellsberg ou o do truelo. E moitos máis que hai. Un dos máis coñecidos é o paradoxo de San Petersburgo. Ten bastante sona no ramo, agardo que non saiba del aínda para que me acompañe nestas liñas.

Ler máis

Cantos vatios move Pogačar

por

Non vou dicir que as matemáticas cambiaron o ciclismo. Non, non o vou dicir. Pero que o ciclismo actual é diferente do que se vía hai unhas décadas é indubidable. E que a ciencia tivo moito que ver nesa evolución é un feito. Quen se afeccionase a este deporte nos setenta ou nos oitenta, case que incluso nos noventa, recordará grandes pájaras (ese é o nome polo que se coñecen os desfalecementos repentinos). Míticos ataques cheos de forza de corredores que pouco tempo despois se viñan abaixo, reducían o ritmo e acababan quedando atrás. Cambios drásticos na situación de carreira, mellorías ou empeoramentos impredicibles. Algo que xa só ocorre esporadicamente, posto que os ciclistas teñen moi claro cal é o límite que poden acadar, cal é a velocidade que poden manter, e raramente “rebentan” da forma na que sucedía hai non tanto.

Ler máis

Cantos goles se marcan no fútbol

por

Non é doado predicir cantos goles se van marcar nun partido. Non obstante, non son moitas as opcións realista. Tampouco é sinxelo anticipar en que minuto se producirán. As casas de apostas lúcranse con estas circunstancias. Se vostede segue La Liga, lea as seguintes preguntas e detéñase a aventurar a súa resposta, baseada nas súas propias percepcións, antes de avanzar coa lectura. Cantos goles se marcan no fútbol? En cal das dúas metades dun partido se producen máis goles? Se dividimos a duración do encontro en intervalos de 15 minutos, en cal dos seis se anota máis goles?

Ler máis

Números construíbles con regra e compás

por

Noutros apartados xa falamos do apaixonante mundo das construcións con regra e compás. Das normas que rexen as devanditas construcións. Dos tres problemas clásicos: a cuadratura do círculo, a duplicación do cubo e a trisección do ángulo. Dos polígonos regulares que se poden construír con esas dúas ferramentas, e para cales tal cousa non é posible.

Así que agora toca falar de números, pero non de operacións nin das súas propiedades. Imos ver cales son os números construíbles con regra e compás, suxeitos ás normas que xa mencionamos. Que, no fondo, é a idea chave na que se basean as demostracións da imposibilidade dos problemas clásicos. A tales números darémoslle o nome de ‘números construíbles xeometricamente’.

Ler máis

O xogo do caos

por

Hai uns meses deume por ler ‘The mathematics that every secondary school math teacher needs to know’, de Alan Sultan e Alice F. Artzt. Unha lectura interesante, que non imprescindible, e que pode ser recomendable para persoas recentemente graduadas que estean dirixindo os seus pasos cara a docencia en secundaria, e tamén para profesorado de matemáticas que proveña doutras titulacións. Algo sempre se ha sacar en claro, aínda que só sexa dunha ollada a partes escollidas do libro.

Ler máis

O paradoxo de Bertrand

por

Hai unhas décadas adoitaba tomarse a expresión ‘ciencias exactas’ practicamente como sinónimo de ‘matemáticas’, pero hai xa tempo que ningunha disciplina reivindica para si mesma tal condición de exactitude. Si perdura, non obstante, certa tendencia a conferir ás matemáticas un elevado grao de precisión, cousa que sucede en gran medida por parte de persoas alleas a elas. As entendidas saben ben que nalgunhas ocasións se dá esa exactitude, e noutras non.

En resumidas contas, nas matemáticas non sempre existe unha solución única nin un só razoamento válido cando se trata de resolver un problema. Xa contei nos Bocados Matemáticos (2022, Edicións Xerais) como o teorema de Pitágoras ten o récord Guinness para o teorema con máis demostracións diferentes -cóntanse por centos-.

Ler máis

Contáctame