The Game of Life, en galego O Xogo da Vida, foi unha das grandes contribucións que nos legou o xenial John Horton Conway (1937 – 2020, arrebatóunolo a COVID-19). Dotado dunha mente aguda, enxeñosa e en constante funcionamento, trátase dunha das personalidades máis rechamantes, admirables e influentes non só do século XX, senón de toda a historia das matemáticas. Recomendo encarecidamente a lectura da súa biografía, escrita por Siobhan Roberts. Paga a pena.
Entre outras moitas cousas, unha curiosidade que se pode contar sobre Conway é que lle gustaba manter o cerebro en forma calculando mentalmente -e en moi poucos segundos- a que día da semana correspondía unha data dada, algo do que xa falei nos Bocados matemáticos. Sabe facelo vostede? Por outro lado, o Xogo da Vida é probablemente a súa contribución máis destacada, ou cando menos a que maior sona acadou. En realidade, co de ‘xogo’ non me refiro a un típico xogo de mesa coma os que nos axudaban a encher as tardes na infancia, senón a un autómata celular.
Antes de adentrarme nas explicacións, vou facer unha pequena paréntese para recomendarlle a vostede que instale no seu ordenador o software Golly. Pode atopalo nesta ligazón. Este Golly é un simulador sinxeliño do Xogo da Vida que lle facilitará comprobar facilmente o que eu vou contar aquí, e tamén lle permitirá experimentar coas súas propias figuras. Leve coidado, que engancha, pero realmente creo que este é un apartado que require fedellar para comprender o que nos traemos entre mans.
Dito isto, o Xogo da Vida xógase sobre unha cuadrícula infinita, sen límites, na cal as células proliferan coma se se tratasen de microorganismos vistos ao microscopio. Talmente parecen remedar a vida. Un autómata celular é xustamente unha máquina con grupos de células que evolucionan nun tempo discreto. Este último termo significa que o tempo non transcorre de xeito continuo, senón de iteración en iteración. Na realidade o tempo descorre continuamente, pero no reloxo do meu forno faino de minuto en minuto e no Xogo da Vida paso a paso, iteración tras iteración. Ambos son discretos. No Golly podemos avanzar un paso na evolución do autómata -e chamámoslle unha xeración- cada vez que prememos a barra espaciadora. En cada nova iteración as células compórtanse baixo as seguintes regras:
-
Regra do nacemento: se nun momento dado unha célula está morta (a cela na cuadrícula está baleira) e a dita célula ten exactamente 3 veciños vivos (cela ocupada) en calquera dirección (toda célula ten exactamente 8 veciños), entón na iteración seguinte esa célula cobra vida.
-
Regra da morte: se nun momento dado unha célula viva ten só 0 ou 1 veciños vivos, na seguinte iteración morre por illamento, e se unha célula viva ten 4 ou máis veciños vivos morre por superpoboación.
-
Regra da supervivencia: Se nun momento dado unha célula viva ten 2 ou 3 veciños vivos, entón na seguinte iteración esa célula continúa viva.
Pode vostede practicar estas regras co padrón que aparece na parte esquerda da figura 1. Entende cal sería a forma que ten que adoptar tras unha primeira iteración? Fíxese que as catro esquinas do cadrado teñen 3 veciños vivos cada unha, por tanto sobrevivirán. Por contra, o centro ten 8 veciños vivos, polo que esa célula morrerá por superpoboación. Ademais, xusto por enriba do cadrado nacerá unha nova célula, pois hai un recadro que inicialmente está baleiro pero conta con exactamente 3 veciños vivos. Dáse conta de cal é? Atrévese vostede a representar como quedaría a primeira iteración? E as seguintes, a partir dela?
Na figura 1 amósanse dous pasos posteriores. Tras empezar co cadrado da esquerda, tras cinco iteracións chégase á imaxe do medio, mentres que na seguinte xeración adopta a forma que aparece á dereita. Comprobe se quere este último paso. O curioso do asunto é que de aí en diante éntrase nun bucle, repetindo unha e outra vez os padróns dos pasos 5 e 6. Unha leva á outra e viceversa. Este tipo de configuracións denomínanse ‘osciladores’: pautas que son predecesoras de si mesmas, que se repiten ao transcorrer un número determinado de xeracións ao que chamamos ‘período’.
Este xogo ten unha compoñente práctica, xa que impulsou o uso de autómatas celulares e de simulacións baseadas en axentes nas ciencias da complexidade, permitindo modelizar o comportamento de moitas situacións reais, dende as formigas até o tráfico e pasando por nubes ou galaxias. Por outra banda, tamén ten unha compoñente algo menos práctica: pode resultar aditivo. Partindo dunhas poucas regras básicas a modo de leis xenéticas, é capaz de producir características de enorme complexidade (algo que non debería sorprender, xa que os propios humanos dispoñemos de centos de miles de millóns de células no noso cerebro) e resulta hipnótico observar a súa evolución e comprobar en que se converte calquera configuración inicial que se nos ocorra.
Unha das cuestións máis interesantes do Xogo da Vida é precisamente esa: saber, para cada padrón inicial, que acaba ocorrendo co paso das xeracións. Pasando a cámara rápida tal parece que se celebran batallas nas que se fai difícil predicir o resultado. Nalgúns casos a guerra remata coa morte de todas as células, a vida cesa. Noutros aparece un oscilador, coma o da figura 1. Ás veces revélase unha forma que parece moverse, coma o planador (do inglés glider, na esquerda da figura 2) que se repite cada catro iteracións pero queda desprazado unha cela cara abaixo e unha cara a dereita. Tamén cabe a posibilidade (figura 2, na dereita) de que a imaxe se manteña inalterable para sempre, un padrón fixo xeración tras xeración. A gama de opcións é ampla e variada, se ten un anaco recoméndolle que ao acabar esta lectura se dedique a consultar exemplos en Internet. Son a cada cal máis curioso. Se non ten azos para poñerse a buscar, déixolle unha referencia moi completa na que atopará algúns curiosos exemplos de padróns.
Volvendo ao asunto dos osciladores, o verán do 2023 quedará nos libros coma o momento no que se confirmou o carácter omniperiódico do Xogo da Vida. Efectivamente, existen osciladores para todos e cada un dos períodos posibles. Mitchell Riley anunciaba o 14 de xullo que atopara o cribbage, de período 19. Tan só quedaba un período para o que non se coñecía un exemplo: o 41. Pero nada máis que uns días despois, o 23 de xullo, saltaba a noticia no momento no que Nico Brown amosaba ao mundo un padrón de período 41, o 204P41 (non foi nomeado aínda, simplemente queda co código que empregan aquelas persoas que estudan o Xogo da Vida, algo no que non imos profundar aquí).
Dende o ano 2013 xa se sabía que existen osciladores para todos os períodos superiores a 43. Até ese límite houbo que ir descubríndoos caso por caso, pero neste 2023 xa se pechou a listaxe. Iso si, o tema seguirá dando que falar, pois como adoita pasar nas matemáticas, o número de preguntas que xorden arredor dun tema pode ser moi grande. No tocante aos osciladores, o interese non remata en saber da súa existencia, senón que se amplía a cuestións como cal é o menor número de celas necesario para establecer un oscilador cun período determinado. Para o período 41 de momento non se mellorou o exemplo de Brown, pero nada nos asegura que no futuro non se descubra algún con menos celas. Por exemplo, o padrón da figura 1 (no centro da imaxe) ten período 2, pero existe unha configuración con bastantes menos celas que conta con ese mesmo período. Trátase do intermitente (do inglés blinker, na figura 3), que consta unicamente de 3 celas.
Algunhas referencias:
- Aperiodical. <https://aperiodical.com/>
- Conwaylife. <<https://conwaylife.com/>
- González Ogando, Paulo (2022). Bocados matemáticos. Edicións Xerais, Vigo. (consulta a miña pestana de Publicacións)
- Roberts, Siobhan (2015). Genious at play. The Courious Mind of John Horton Conway. Bloomsbury, Nova York.