Criterios de divisibilidade

Durante os anos escolares aprendemos un feixe de criterios de divisibilidade, que permiten decidir dun xeito moi doado se un número dado é divisible ou non por 2, 3, 4, 5, 9, 10 ou 11, sen necesidade de resolver a división. Obviamente, se dispomos dunha calculadora a conclusión é inmediata sen -case- esforzo; estes criterios son útiles na medida en que permiten aforrar cálculos a man por resultaren máis rápidos que completar o algoritmo da división. Iso si, vou avisando xa: esta entrada contén certa cantidade de cálculos con congruencias. Se a vostede se lle fai demasiado costa arriba, pode sen ningún medo prescindir desa parte; quede nese caso coa lectura dos criterios, entenda os exemplos e practique algún máis pola súa conta. Tamén lle ha prestar.

Imos aló. Un dos criterios de divisibilidade máis coñecidos é o do 3: un número é divisible entre 3 se e só se a suma das súas cifras é tamén divisible por 3. Doado de entender e de aplicar, serve ademais para realizar un primeiro achegamento ás demostracións que usan congruencias.

Para probar a validez do criterio comecemos considerando que o número terá unha forma deste estilo: $n=\cdots dcba$ . Pode ter tantos díxitos como queiramos, pero fixarémonos no que ocorre cos últimos e veremos que o argumento é extensible a tantos como se desexe. Agora lembremos que para escribir números empregamos un sistema posicional decimal, e cando poñemos 235 en realidade estamos a referirnos a $5+10\cdot 3+100\cdot 2$ . É dicir, temos que $n=a+10b+100c+1\ 000d+\cdots$ , que se pode reescribir coma:

$n=a+10b+100c+1\ 000d+\cdots = (9b+99c+999d+\cdots) + (a+b+c+d+\cdots)$

Agora é cando vou introducir a notación de congruencias, espero que me siga nos próximos pasos. Que o número $n$ sexa divisible por 3 escríbese $n\equiv 0 \mod 3$ , e equivalentemente $a+10b+100c+1\ 000d+\cdots \equiv 0 \mod 3$ . Isto pode reescribirse coma $(9b+99c+999d+\cdots) + (a+b+c+d+\cdots) \equiv 0 \mod 3$ , e desta sentencia dedúcese que $a+b+c+d+\cdots = -9b-99c-999d-\cdots \mod 3$ . Xa por último concluímos que $a+b+c+d+\cdots \equiv 0 \mod 3$ , posto que os coeficientes 9, 99, 999… son todos divisibles por 3, e xa temos demostrado o criterio.

Unha curiosidade concernente aos criterios de divisibilidade é que non son únicos. É dicir, para un mesmo divisor poden coexistir varias regras que funcionen con efectividade. Por exemplo para o 11 podemos formular varias alternativas de parecida dificultade. Unha delas require sumar por un lado todas as cifras que ocupan posición par e polo outro todas as que ocupan posición impar; o número será divisible por 11 se e só se a diferenza entre ambas as sumas é divisible por 11 (ou 0). Comprobémolo con 568 271: primeiro sumamos as posicións impares, $5+8+7=20$ , e a continuación as posicións pares, $6+2+1=9$ . Como $20-9=11$ , o número elixido é divisible por 11.

Non obstante, tamén se pode comprobar esa divisibilidade por 11 obtendo a diferenza entre a cantidade obtida ao suprimir a última cifra do número e esa mesma última cifra. Este resultado é divisible por 11 (ou 0) se e só se o é o número inicial. E o proceso pode reiterarse cantas veces se queira. Véxase co mesmo exemplo do parágrafo anterior:

$\begin{array}{c} 56\ 827 - 1 = 56\ 826 \\ 5\ 682-6= 5\ 676 \\ 567-6 = 561\\ 56-1=55 \end{array}$

E como 55 xa é claramente divisible por 11, concluímos que 568 271 tamén o é.

Sigamos mergullándonos na aritmética modular para explicar por que funciona o primeiro destes criterios. Volvemos escribir o número inicial coma $n=\cdots dcba$ , e de novo poñemos $n=a+10b+100c+1\ 000d+\cdots$ facendo uso do sistema posicional decimal.

Resulta que $11\equiv 0 \mod 11$ , evidentemente, e de aí hai un paso a que $10\equiv -1 \mod 11$ . Por tanto $10^l \equiv 1 \mod 11$ dependendo se $l$ é par ou impar. Se isto resulta pouco comprensible, non o é tanto reparar en que $10b=11b-b$ , $100c=99c+c$ , $1000d=1001d-d$ , e así sucesivamente, tendo en conta que 11, 99, 1001 e os sucesivos termos desa sucesión son todos divisibles por 11. Vamos, que queda algo así:

$\begin{array}{ll} n\equiv 0 \mod 11 & \quad \Leftrightarrow \quad a+10b+100c+1\ 000d+\cdots \equiv 0 \mod 11 \medskip\\ & \quad \Leftrightarrow \quad a+11b-b +99c +c +1\ 001d - d + \cdots \equiv 0 \mod 11 \medskip\\ & \quad \Leftrightarrow \quad a-b+c-d+\cdots \equiv 0 \mod 11 \end{array}$

E con isto último, o criterio queda probado e xa podemos usalo con calquera número que queiramos.

Os citados no primeiro parágrafo desta entrada son quizais os criterios de divisibilidade máis habituais nas aulas. En realidade, creo que o do 11 está perdendo presenza paseniño, pero sen dúbida aínda sobrevive. En todo caso, o que si é moi raro é que o profesorado ensine o criterio do 7. E si, tal regra existe. Regras, en realidade, pois tamén para o 7 existe máis de un criterio de dificultade semellante.

Un primeiro método pode aplicarse obtendo a diferenza entre a cantidade obtida ao suprimir a última cifra do número e o dobre desa mesma última cifra. E repítese o proceso até quedar cun só díxito. Se este é 0 ou 7, entón o número orixinal é divisible por 7. Fago aquí un inciso, antes sequera de tomar ningún exemplo. Xa se decatou da similitude que ten este método cun dos mostrados para o 11? Se é así, comprobamos este criterio do 7 co número 366 576?

$\begin{array}{c} 36\ 657 - 12 =36\ 645 \\ 3\ 664 - 10 = 3\ 654 \\ 365-8 = 357 \\ 35-14 = 21 \\2-2=0 \end{array}$

E tal parece que 366 576 si é divisible por 7, Pero, por que funciona o método? Observando a penúltima liña do cálculo anterior vemos un 21, e todos sabemos que 21 é divisible por 7 ( $7\cdot 3$ , obvio). Escribindo en termos de congruencias temos que $21 \equiv 0 \mod 7$ . Sendo calquera número enteiro, ha de cumprir que $21a\equiv 0 \mod 7$ . E como $21a = a+20a$ , tense que $a\equiv -20a \mod 7$ , e iso lévanos a $10b+a\equiv 10b-20a \mod 7$ , ou de outro xeito $10b+a\equiv 10(b-2a) \mod 7$ .

Se vostede foi quen de me seguir até aquí, xa só lle resta concluír que $10b+a$ é o número que nós escribimos (novamente, recorde o sistema posicional decimal) coma $ba$ , mentres que $b-2a$ é coller as decenas dese número e restarlle o dobre das unidades. Así, ambas as expresións se comportan de igual maneira ao seren divididas por 7, e o argumento usado con dous díxitos -por simplicidade- pode ser facilmente xeneralizado a números máis longos.

Outro criterio de divisibilidade para o 7 coloca os díxitos do número inicial en orde inversa (comezando dende as unidades) e multiplícaos sucesivamente por 1, 3, 2, 6, 4, 5, repetindo esta sucesión de ser necesario. Despois, calcúlase a suma de todos eses produtos, e resulta que o resultado obtido ten o mesmo resto que a división do número de partida entre 7. Volvamos pois ao número 366 576:

$\begin{array}{c} 6\cdot 1=6 \qquad 7\cdot 3=21 \qquad 5\cdot 2=10 \qquad 6\cdot 6 = 36 \qquad 6\cdot 4 = 24 \qquad 3\cdot 5 =15 \medskip \\ 6+21+10+36+24+15=112 \end{array}$

E 112 é divisible por 7, xa que $112=7\cdot 16$ ; novamente comprobamos a divisibilidade do número 366 576 por 7. En que se basea este criterio? Pois nas congruencias do 7, claro está. Non é difícil calcular cales son os restos que se obteñen ao dividir as sucesivas potencias de 10 por 7, pode axudarse da calculadora se fai falla.

$\begin{array}{c} 1=10^0\equiv 1 \mod 7 \\ 10=10^1\equiv 3 \mod 7 \\ 100=10^2\equiv 2 \mod 7 \\ 1\ 000=10^3\equiv 6 \mod 7 \\ 10\ 000=10^4\equiv 4 \mod 7 \\ 100\ 000=10^5\equiv 5 \mod 7 \\ 1\ 000\ 000=10^6\equiv 1 \mod 7 \\ 10\ 000\ 000=10^7\equiv 3 \mod 7 \end{array}$

Xa recoñeceu a secuencia? Seguro que si: 1, 3, 2, 6, 4, 5, e a partir de aí repítense sucesivamente. Acabamos de empregala no último exemplo! O que ocorre unha vez máis é que se partimos da expresión decimal dun número calquera ao que chamamos $n=\cdots dcba$ , teremos que:

$n=a+10b+100c+1\ 000d+\cdots \equiv a\cdot 1 + b\cdot 3 + c\cdot 2+ d\cdot 6 + \cdots \mod 7$

Do cal se deduce finalmente que esa expresión decimal ten o mesmo resto ao ser dividido por 7 que esoutra expresión $a\cdot 1 + b\cdot 3+c\cdot 2+ d\cdot 6+\cdots$ .

Chegados a este punto non me vou estender, pero quero rematar lanzándolle algunhas preguntas a vostede. Cantos criterios de divisibilidade coñece? Sería capaz de demostrar o segundo dos criterios do 11? Sería quen de atopar algún outro criterio diferente para o 11? E para o 7?

Algunhas referencias:

Población Sáez, Alfonso Jesús (2019). La <<regla del siete>> que sí funciona y no te explicaron en la escuela, na sección El ABCdario de las Matemáticas do xornal ABC. Accesible en liña aquí.
Rechtman Bulajich, Ana e Rubio Barrios, Carlos Jacob (2009). Divisibilidad y congruencias. Revista Tzaloa, año 1, número 2, pp. 1-9.

Deixa un comentario Cancelar a resposta