Os números de Gregory

Antes de introducir os números de Gregory, partamos da figura 1. Ao situarnos no vértice da esquerda, hai un camiño ascendente e outro descendente; o ascendente ten pendente $\frac{1}{3}$ e o descendente ten pendente $\frac{1}{2}$ . O obxectivo é achar o ángulo total entre ambos os camiños, é dicir, a medida do ángulo $\alpha + \beta$ .

Figura 1. Queremos medir o ángulo alfa + beta. — Figura 1. Queremos medir o ángulo $\alpha + \beta$ .

Son dous triángulos rectángulos, polo que podemos aplicar as razóns trigonométricas. Ao coñecermos os catetos, usamos a tanxente. Pode vostede botar man dunha calculadora e comprobar os cálculos.

	Graos	Radiáns
$\alpha = \arctan\left(\dfrac{1}{3}\right)$	$18,43494882\dots º$	$0,3217505544\dots$
$\beta = \arctan \left(\dfrac{1}{2}\right)$	$26,56505118\dots º$	$0,463647609\dots$
$\alpha + \beta$	$45 º$	$\dfrac{\pi}{4}$

Pode causar sorpresa o feito de ser exactamente 45º a medida de $\alpha + \beta$ . Isto queda máis claro á vista da figura 2, na que se trazan unhas cantas liñas máis, de forma que o ángulo $\alpha + \beta$ resulta ser o que forma a diagonal dun cadrado co seu lado. Ao mesmo tempo, resulta que $\alpha + \beta = \arctan (1)$ , un cálculo que corresponde cunha pendente de $\frac{1}{1}$ .

Figura 2. O ángulo alpha + beta mide exactamente 45º. — Figura 2. O ángulo $\alpha + \beta$ mide exactamente 45º.

Todo isto permite pensar nos ángulos xerados ao tomar unha pendente $\frac{1}{n}$ . Denotemos os devanditos números por $t_n$ , e escribirémolos en radiáns. Deste xeito, a relación anterior pode expresarse como $t_1=t_2+t_3$ , unha fórmula xa coñecida por Leonhard Euler (1707 – 1783).

En 1980 Stephen Stiegler (n. 1941) enunciou o axioma que se coñece polo nome de Lei de Stiegler: «ningún descubrimento científico recibe o nome de quen o descubriu en primeiro lugar». Se ben non cabe dúbida de que se trata dunha esaxeración, tamén cómpre recoñecer que son moitos os achados que a verifican. Velaquí un bo exemplo da lei de Stiegler: en 1671 James Gregory (1638 – 1675) deu a expansión en series de potencias de sete funcións, entre elas a da tanxente e a da secante. Basicamente, Gregory descubriu as series de Taylor antes de que Brook Taylor (1685 – 1731), de quen toman o nome, as introducise en 1715. Outra das series expostas por Gregory foi precisamente a do arco tanxente:

$\arctan(x) = x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} - \dfrac{x^7}{7}\cdots = \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^k x^{2k+1}}{2k+1}$

O número $t_1=\frac{\pi}{4}$ do que falamos antes era xustamente $\arctan(1)$ , o que nos brinda unha aproximación para o número $\pi$ que se adoita coñecer polo nome de fórmula de Leibniz. É ben fermosa, aínda que pouco eficiente porque converxe con bastante lentitude; precisa miles de termos para obter só catro decimais de $\pi$ . Velaquí está:

$\dfrac{\pi}{4} = 1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{11}\cdots$

No problema inicial desta entrada estabamos interesados nas pendentes $\frac{1}{n}$ , é dicir, no resultado de $\arctan\left(\frac{1}{n}\right)$ . A serie anterior de Gregory permite obter outra serie para isto:

$\arctan\left(\dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{3x^3} + \dfrac{1}{5x^5} - \dfrac{1}{7x^7}\cdots$

Retomando a relación $t_1=t_2+t_3$ , e aplicando esta serie, temos unha nova aproximación para $\pi$ , que converxe moito máis rápido que a anterior, pois é suficiente cos seguintes termos para chegar ao cuarto decimal:

$\dfrac{\pi}{4} = t_1 = t_2 + t_3 = \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3\cdot 2^3} + \dfrac{1}{5\cdot 2^5} - \dfrac{1}{7\cdot 2^7}\cdots \right) + \left( \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3\cdot 3^3} + \dfrac{1}{5\cdot 3^5} - \dfrac{1}{7\cdot 3^7} \cdots \right)$

Chegou o momento de xeneralizar, e á tanxente inversa de $\frac{1}{x}$ , sendo x un número racional, chámaselle o número de Gregory $t_x$ . Tense así que $t_x = \arctan\left(\frac{1}{x}\right) = \cot^{-1}(x)$ , e os valores $t_1,t_2,t_3$ mencionados antes son, pois, números de Gregory.

Dixemos antes que xa Euler sabía que $t_1=t_2+t_3$ . Pero non quedou aí (Euler nunca “quedaba aí”): obtivo varias fórmulas para $\pi$ empregando os números de Gregory, usando outras relacións coma $t_1=2t_3 + t_7$ . Non foi o único. A maior contribución de John Machin (1680 – 1751) ás matemáticas a ben seguro que é precisamente o desenvolvemento dunha serie converxente para aproximar $\pi$ . En 1706 calculou 100 díxitos decimais mediante a fórmula $\frac{\pi}{4} = t_1 = 4t_5 - t_{239} = 4\arctan\left(\frac{1}{5}\right) - \arctan\left(\frac{1}{239}\right)$ .

Esta última fórmula permite asegurar que existe máis dunha forma de expresar $t_1$ como combinación lineal de outros números $t_n$ . Porén, demostrouse que todo número de Gregory se pode expresar de forma única como unha combinación lineal de números $t_n$ , sendo os índices n os números de Størmer. Como? Que? Números de Størmer? Que raio é iso?

Imos con outra definición: os números de Størmer son os enteiros positivos n para os cales o maior factor primo p de $n^2+1$ é maior ou igual que $2n$ . Os primeiros números de Størmer son $n=1,2,4,5,6,9,10,11,12\dots$ . Como non podía ser doutro xeito, os números de Størmer teñen entrada propia na Enciclopedia En Liña de Series de Enteiros (OEIS). Debémosllos a Fredrik Carl Størmer (1874 – 1957), e antes de continuar voulle contar que unha fórmula debullada por el, $\pi = 176 \arctan\left( \frac{1}{57} \right) + 28\arctan\left(\frac{1}{239}\right) -48\arctan\left(\frac{1}{682}\right) +96\arctan\left(\frac{1}{12943}\right)$ , foi empregada en 2002 por Yasumasa Kanada (1949 – 2020) para calcular a nada desprezable cantidade de 1 241 100 000 000 díxitos decimais de π. Aí queda iso. Non lle recomendo que tente escribilos todos, non.

Retomemos o fío, e non quero que se me perda vostede con esta nova definición que acabamos de dar. Fíxese na lista: o 6 aparece, o 7 non. Por que?

Se $n=6$ , calculamos $n^2+1=6^2+1=37$ . O maior factor primo de 37 é o propio 37. E como $37>2n=12$ , tense que o 6 é un número de Størmer.
Se $n=7$ , calculamos $n^2+1=7^2+1=50$ . O maior factor primo de 50 é o 5. E como $5<2n=14$ , tense que o 7 non é un número de Størmer.

Non lle parece asombrosa a relación entre os números de Gregory e os números de Størmer? Pois terme das orellas, que vai ficar pampo: tamén teñen que ver cos números complexos, máis concretamente cos enteiros gaussianos, que son os complexos $a+bi$ tales que $a,b$ son enteiros. O ángulo $t_{\frac{a}{b}}$ , correspondente cunha pendente $\frac{a}{b}$ , coincide co ángulo que determina o enteiro gaussiano $a+bi$ (que adoitamos chamar argumento). Desta maneira, $t_2=\arctan\left(\frac{1}{2}\right)$ está asociado co complexo $2+i$ .

E de aí resulta que para atopar a combinación lineal dun número de Gregory en función de números de Størmer, multiplícase repetidamente $a+bi$ por números $n\pm i$ , sendo n un número de Størmer escollido para que se poidan cancelar factores primos p. Para isto, n debe ser o máis pequeno para o cal $n^2+1$ é divisible por p.

Conway e Guy (non o dixera aínda, pero quero que quede claro: é nesa referencia onde aprendín todo isto) exemplifícano con $t_{70}$ , que corresponde co enteiro gaussiano $70+i$ . Empezamos por comprobar se o 70 é un número de Størmer, pois se o fose nada disto faría falla; como $70^2+1=4901=13\cdot 29$ , o maior factor primo é 29, e ao cumprirse que $29<2\cdot 70$ concluímos que non o é. Daquela, cómpre buscar a descomposición.

Buscamos agora o número n máis pequeno tal que $n^2+1$ sexa divisible por 29. Resulta ser o 12, que si é un número de Størmer (non se fíe de velo na lista de antes, compróbeo vostede). Entón:

$(70+i)\cdot (12-i) = 29(29-2i)$

O argumento de $70+i$ é $t_{70}$ , o de $12-i$ é $-t_{12}$ , medido en sentido contrario. E podemos aplicar as propiedades dos números complexos, que neste caso nos din que a multiplicación de dous complexos resulta ter por argumento a suma dos argumentos dos dous números multiplicados. Igualmente, multiplicar un escalar (por 29, neste caso) simplemente modifica o módulo, polo que non afecta ao argumento. É dicir, que $-t_{\frac{2}{29}} =t_{70}-t_{12}$ .

O outro factor primo de $t^2+1$ era 13, polo que para seguir co proceso buscamos o número n máis pequeno tal que $n^2+1$ sexa divisible por 13. É o 5, de novo un número de Størmer. Por tanto:

$(29-2i)\cdot (5-i) = 13(11-3i)$

Con isto tense que $-t_{\frac{2}{29}} -t_5 = -t_{\frac{3}{11}}$ . Repetindo multiplicación chegamos a $2-i$ , sendo 2 tamén un número de Størmer.

$(11-3i)\cdot (5-i) = 26(2-i),$

que nos brinda $-t_{\frac{3}{11}} - t_5 = -t_2$ .

Substituíndo axeitadamente todas as expresións anteriores e despexando, obtense que $t_{70}=t_{12}+2t_5 -t_2$ , que é a única combinación lineal do número de Gregory $t_70}$ a partir de outros $t_n$ de tal xeito que todos os n sexan números de Størmer, como son 12, 5 e 2. Fabuloso. Na páxina 247 de The Book of Numbers pode consultar vostede as descomposicións (recorde, en cada caso é única) para os primeiros $t_ n$ até $n=239$ nos que n non é el mesmo un número de Størmer.