As raíces do problema isoperimétrico podemos atopalas xa no libro IV da Eneida, onde Virgilio (70 a.C. – 19 a.C.) recolle unha lenda sobre a orixe da cidade Cartago. A historia que conta ocorre aló polo século IX a.C.: a princesa Dido tivo que fuxir de Tiro porque seu irmán Pigmalión cobizaba certa fortuna (o diñeiro, sempre o diñeiro), e levando consigo todo un tesouro, Dido chegou á costa do norte de África, onde procurou a compra duns terreos a un rei local para poder construír alí unha cidade.
O devandito rei, un tanto remiso á incursión dos estranxeiros, aceptou a proposta de Dido, mais impuxo unha condición: a única superficie que podería empregar para edificar era aquela que fose capaz de abranguer cunha pel de touro. Tal esixencia non freou a Dido, que procedeu a cortar a pel en finas tiras de moi pouco grosor, e tras anoalas conseguiu un cordel de gran lonxitude que utilizou para cubrir un enorme semicírculo. Non se trataba dun círculo completo, xa que levou a cabo a súa enxeñosa argallada no bordo da costa, situando a beira do mar no diámetro da figura.
Con esa ocorrencia, Dido conseguiu limitar unha xenerosa extensión de terreo, sobre a cal erixiría unha fortaleza; máis tarde aquilo íase converter na cidade de Cartago. Deste xeito, un notable problema matemático ten as súas raíces na mitoloxía: a fundación dun emprazamento que tempo despois sería un poderoso Estado dá pé á pregunta: entre as figuras planas pechadas de igual perímetro, cal delas é a que encerra unha área maior? Tal cousa coñécese coma o ‘problema isoperimétrico’.
Unha vez que Dido construíu a corda coas tiras de pel de touro, o que ocorreu é que o perímetro quedaba fixo, non variaría dunha figura a outra, e tan só tiña que preocuparse da maneira na que lograría abranguer unha área o máis grande posible. Aquí imos eliminar a beira do mar para tomar en consideración só figuras enteiras, e nun primeiro achegamento imos limitar o problema a polígonos.
Que saibamos, foi o grego Zenodoro (c. 200 a. C. – c. 140 a.C.) o primeiro en abordar o problema, demostrando varios resultados sobre polígonos, que demostrou por separado:
-
Teorema 1: entre dous polígonos regulares que teñan o mesmo perímetro, o que ten unha área maior é o que posúe máis ángulos.
-
Teorema 2: un círculo ten maior área que calquera polígono regular co mesmo perímetro.
-
Teorema 3: entre os polígonos co mesmo número de lados e co mesmo perímetro, o polígono regular é o que ten unha área maior.
A combinación destes tres resultados permite asegurar que o círculo ten maior área que calquera polígono (sexa regular ou non) que teña o mesmo perímetro ca el. Isto resolvería o problema para polígonos… de non ser porque a demostración do teorema 3 contiña un erro! Que non foi emendado até o século XIX, nada menos que uns dous mil anos máis tarde. Non obstante, o resultado si era certo, e neste problema o círculo avantaxa a todos os polígonos.
Por outra banda, a solución para polígonos é só unha parte da cuestión, dado que se poden considerar unha manchea de figuras planas pechadas que non sexan polígonos, sen máis que tomar bordos curvos no canto de rectos. Cabe remarcar neste caso que a figura de perímetro fixo e área máxima por forza ten que ser convexa1, xa que de non selo bastaría con tomar a súa envolvente convexa2 (figura 2), e esta tería menor perímetro e maior área. A partir de aí as consideracións sobre o problema xa se tornan un chisco complexas para este espazo.
Son varios os nomes que agroman se, dende os primeiros estudos de Zenodoro, seguimos as investigacións feitas sobre este problema: Abu Ja’far al Khazin (900 – 971), Galileo Galilei (1564 – 1642), Simon Antonine Jean Lhuilier (1750 – 1840), Adrien-Marie Legendre (1752 – 1833), Joseph Diaz Gergonne (1771 – 1859) ou Jakob Steiner (1796 – 1863) son algúns deles. E é que na inmensa maioría das ocasións o avance das matemáticas non se produce tan só debido ao traballo dunha soa persoa, senón ao esforzo acumulado dun feixe delas3.
Entre eses nomes é posible que o de Steiner sexa o que máis se asocia ao problema isoperimétrico, e en efecto demostrou e publicou varios resultados concernentes aos máximos e mínimos de medidas asociadas a distintas figuras. Non obstante, algúns deses resultados, incluíndo o relativo ao problema que estamos a comentar, recibiu críticas centradas no feito de que dá por sentada a existencia de solución, utilizando esa suposición para probar que ningunha pode ser mellor que o círculo. Varios expertos sinalaron, non sen razón, que era preciso completar as demostracións xustificando a existencia de solución.
No fondo disto último atópase a evolución das matemáticas por aquel entón: no século XIX a análise matemática estaba madurando notablemente, e a esixencia respecto dese tipo de defectos era máis grande do acostumado tempo atrás. De feito, cara finais do século foi cando chegou a solución completa e -agora si- rigorosa do problema isoperimétrico, que chegou da man de Karl Weierstrass (1815 – 1897). O máis rechamante dos seus resultados é que non se encadran na xeometría elemental, senón no máis complicado mundo do cálculo de variacións. Iso si, posteriormente atopáronse demostracións máis doadas e directas, baseadas en ideas e técnicas moi variadas, como a de Adolf Hurwitz (1859 – 1919) mediante series de Fourier, a de Erhard Schmidt (1876 – 1959) mediante xeometría diferencial ou a do español -afincado en Arxentina dende o seu exilio en 1939- Luis Santaló (1911 – 2001), que usaba da xeometría integral.
Un aspecto apaixonante deste problema, igualiño que moitos outros nas matemáticas, é que a súa solución non pon un punto e final, xa que tomándoo como punto de partida da pé á formulación de moitas preguntas de interese. Por exemplo, o problema perimétrico busca a figura de maior área para un perímetro fixo pero, pensou vostede en cal sería a de menor área?
E de forma análoga pode preguntarse que ocorre con figuras de igual área, de entre elas cal será a de maior perímetro? E a de menor perímetro? Recoméndolle a vostede que pense en triángulos coa mesma base, pero que teñen o vértice oposto situado en distintos lugares dunha recta paralela á base. Todos eses triángulos teñen a mesma área (dáse conta de por que?), pero diferente perímetro.
Unha forma habitual de xeneralizar un problema é considerar o equivalente en distintas dimensións, o que neste caso nos podería deixar o seguinte interrogante: entre as figuras en tres dimensións pechadas de igual área, cal delas é a que encerra un volume maior? E engadiría: sabe vostede por que as pompas de xabón sempre adoptan forma de esfera?
Algunhas referencias:
-
Durán, Antonio J. (2017). A hombros de gigantes. Blog do Instituto de Matemáticas da Universidade de Sevilla. Recuperado de https://institucional.us.es/blogimus/2017/09/a-hombros-de-gigantes/.
-
Pérez, Rafael et al. (2002). Isoperímetros: el problema de la existencia de solución en el problema isoperimétrico. Revista SUMA, n.º 41, pp 113-115.
-
Herrero Piñeyro, Pedro José (2012). La historia del problema isoperimétrico clásico con geometría elemental. La Gaceta de la RSME, vol. 15, núm. 2, pp 335-354. Accesible en liña en <https://gaceta.rsme.es/abrir.php?id=1083>.
-
Sorando Muzás, José María (2020). La geometría de las ciudades. Los Libros de la Catarata, Madrid.
1 Que sexa convexa significa que sempre é posible unir dous puntos da figura mediante un segmento de tal xeito que ese segmento quede enteiramente dentro da figura.
2 A envolvemente convexa dunha figura é, basicamente, a menor figura que a conteña e si sexa convexa.
3 <<Se cheguei a ver máis lonxe ca outros é porque me subín nos ombreiros de xigantes>> é unha frase que se adoita atribuír a Isaac Newton, tras aparecer nunha carta do 1676 a Robert Hooke. Porén, non é orixinal de Sir Isaac, e se ben pode semellar unha mostra de recoñecemento a Hooke, non deberiamos obviar que ambos os científicos mantiñan unha probada rivalidade e que, segundo parece, Hooke era de baixa estatura.