O paradoxo do corvo

O método científico consiste na observación sistemática da realidade, a partir da cal se establece unha hipótese, procedendo a deseñar probas para tratar de refutala ou confirmala. Tras analizar os resultados, a hipótese ou ben se dá por válida ou ben se descarta, existindo tamén o termo medio de modificala e repetir o proceso.

Había unha vez unha moza, imos chamala M, que estaba a estudar o método científico na escola e por iso descubriu o paradoxo do corvo. Un bo día, dando un paseo polo campo, observou un paxaro. Era un corvo. E era negro. Nese momento M conxecturou que «todos os corvos son negros». Ese mesmo día, até que volveu a casa, reparou en oito corvos máis. Todos eran negros, polo que M considerou que a súa hipótese estaba debilmente confirmada.

Durante as seguintes semanas adoitou fixarse nos paxaros cada vez que saía. Viu varias ducias de corvos, tantos que perdeu a conta, pero seguramente foran máis de douscentos. Todos e cada un deles, de cor negra. Nalgún momento que non sabía nin situar no tempo, M deixou de pensar na súa conxectura como tal, pasando a darlle a categoría de lei. Xulgaba que xa estaba fortemente comprobada.

Ten sentido o razoamento de M, non si? Método científico, lle chaman. A risco de resultar demasiado simple, podemos dicir que nas matemáticas este método non aplica, porque ten o seu propio método: o axiomático-dedutivo. E non me quero adentrar aquí nisto, pero na estatística si temos algo semellante: o enfoque bayesiano, polo cal as novas observacións dispoñibles achegan información información sobre o a variable que se estea a estudar, permitindo refinar as nosas estimacións ao respecto. O razoamento indutivo é basicamente o mesmo: ao observan cousas que resultan coherentes cunha hipótese, entón increméntase a probabilidade de que esta sexa verdadeira.

Co que imos tirar agora é cun chisco de lóxica. En lóxica proposicional, dicir que é equivalente a dicir que . Isto quere dicir que en todas as circunstancias nas que a primeira sentencia é certa, a segunda tamén o é, e que en todas as circunstancias nas que a primeira é falsa, a segunda tamén.

Para M, «todos os corvos son negros» adopta o papel de ; dalgún xeito, . Por contraposición, podemos establecer a a frase equivalente «se un obxecto non é negro, entón non é un corvo». Léaa vostede con calma, quere? Convénzase da correspondencia entre ambas as sentencias. Permítase ter a seguridade de poder afirmar que .

Como son totalmente equivalentes, de conseguir confirmar unha das frases automaticamente confírmase a outra. Iso significa que M, nos seus paseos, convéncese máis e máis da súa hipótese cada vez que mira para un corvo e resulta ser negro, pero tamén engade evidencias con cada cousa que ve e, non sendo negra, comproba que non é un corvo. Por exemplo, un sábado calquera pola tarde estaba recostada á sombra dun castiñeiro e viu ao lonxe un coche azul que se adentraba nunha senda forestal, cando se sorprendeu a si mesma pensando «anda! Ese coche non é negro, e vexo claramente que non é un corvo, polo que efectivamente ten que ser certo que todos os corvos son negros!».

Todo isto é loxicamente irrefutable. Vostede xa sabía que os corvos son negros, nin sequera o considerou nunca unha conxectura. Cada vez que ve un corvo negro reafírmase nese coñecemento. Seguro que o fai de forma inconsciente, non se para a pensar dúas veces nese aspecto. Pero ollo, a lóxica dinos que en cada ocasión que ve unha vaca lila (figura 2) debería facer o mesmo razoamento, dado que gañou información sobre o tema: observar esa vaca achégalle a vostede outra evidencia máis de que todos os corvos son negros.

Gústame un exemplo que explica Martin Gardner (1914 – 2010) en ¡Ajá! Paradojas que hacen pensar. El colle unha baralla de cartas de póker¹ e coloca coidadosamente sobre a mesa dez cartas boca abaixo. A continuación, lanza como conxectura que «todas as cartas negras dese mazo son picas». A priori pode ser certo (as picas son negras) ou pode non selo (tamén son negros os trevos). Ao haber só 10 cartas, é fácil comprobalo levantándoas todas, unha detrás de outra. Se a carta levantada é negra, seguimos pensando que a conxectura pode ser certa. Pero, neste caso, a equivalencia «todas as cartas que non son picas non son negras (é dicir, son vermellas)» si que nos serve como confirmación, xa que voltear unha carta e comprobamos que non é pica e é vermella achega información sobre a conxectura. Ao ter levantadas as dez, para darlle validez á hipótese non só imos mirar que as picas sexan negras, senón tamén que as non picas sexa vermellas.

Dáse conta? O que cos corvos semella unha insensatez, co mazo de dez cartas de repente cobra sentido. A que se debe esta diferenza? Basicamente, a diferenza entre os dous exemplos radica no tamaño relativo entre os dous conxuntos a estudar. A clase dos obxectos observables é enormemente maior que a clase dos corvos, mentres que a clase das picas e a clase das non-picas caen dentro da mesma orde de magnitude, son tamaños suficientemente parecidos.

Foi Carl Gustav Hempel (1905 – 1997), un filósofo da ciencia, quen propuxo o paradoxo do corvo no século pasado, ao publicalo na revista Mind en 1945. Hempel afirma que a observación da vaca achega información sobre a teoría de que todos os corvos son negros, pero claro, só o fai nun grao infinitesimal debido a ese tamaño relativo tan grande do que falabamos neste caso. De feito, Hempel matizaba que o termo ‘confirmación’ non debe entenderse coma se fosen probas concluíntes, nin sequera sólidas, senón simplemente coma unha cuestión de apoio, algo así coma un respaldo.

E é que non sempre podemos confiar na indución enumerativa: a mera acumulación de casos confirmatorios non ten por que ser suficiente, hai que poñer en xogo outros coñecementos. No caso dos corvos, buscar corvos en diferentes é máis importante que fixarse en corvos e en non-corvos sempre na nosa rexión (esta última é M nos seus paseos). Non hai máis que pensar no caso dos osos e a súa cor.

O tamaño inabarcable do conxunto fai que moitos autores, cando falan do paradoxo do corvo, traian a colación a Sherlock Holmes. Si, a Sherlock, cando en O signo dos catro dicía ‒para sermos exactos, cando Arthur Conan Doyle (1859 – 1930) o escribía‒ aquilo de «cando se descartaron todas as explicacións imposibles, a que queda, por inverosímil que pareza, ten que ser a verdadeira». O problema deste método é o mesmo que explica o paradoxo: o número de posibles explicacións é tan tan grande que resulta inviable pensar en descartalas todas menos unha.

Para rematar, deixo aberta unha cuestión, a ver que opina vostede. Con ela o que pretendo é deixalo con ganas de investigar máis sobre o paradoxo do corvo. Xa quedou claro que unha vaca lila achega información sobre a conxectura «todos os corvos son negros». Pero por un motivo análogo, ver unha vaca lila achega información sobre estoutra conxectura: «todos os corvos son brancos». Como pode ser que un mesmo feito sexa unha evidencia simultaneamente para dúas sentencias incompatibles?

Algunhas referencias:

• Bunch, Bryan (1982). Mathematical Fallacies and Paradoxes. Dover Publications, Nova York.

• Clark, Michael (2002). Paradoxes from A to Z. Routledge, Londres.

• Darling, David e Banerjee, Agnijo (2019). El sorprendente libro de las rarezas matemáticas. Paidós, Editorial Planeta, Barcelona.

• Frabetti, Carlo (1998). El gran juego. Alfaguara, Madrid.

• Gardner, Martin (2012). ¡Ajá! Paradojas que te hacen pensar. RBA Libros, Barcelona.