Un campo que fai agromar un bo feixe de paradoxos é o das autorreferencias; entre eles os máis coñecidos seguramente sexan o do mentiroso ou o do barbeiro que afeita a todos aqueles que non se afeitan a si mesmos. Neste apartado imos explorar outra situación análoga, que foi formulada por Kurt Grelling (1886-1942, figura 1 á esquerda) e Leonard Nelson (1882-1927, figura 1 á dereita) no ano 1908. No típico alarde de orixinalidade, coñécese coma o paradoxo de Grelling-Nelson.
Pense vostede en adxectivos, cantos máis se lle ocorran mellor. E vaia clasificándoos en autolóxicos e heterolóxicos do seguinte xeito: un adxectivo é ‘autolóxico’ se e só se se describe a si mesmo, mentres que un adxectivo é ‘heterolóxico’ se e só se non se describe a si mesmo. Por exemplo, galego, lexible ou esdrúxula son autolóxicas, e por contra infinito, longa ou monosilábico son heterolóxicas.
Podemos traspasar esta situación á teoría de conxuntos, identificando cada adxectivo co conxunto de obxectos aos que se lles pode aplicar dito adxectivo. Deste xeito, semella que estamos ante dous subconxuntos que forman unha partición do conxunto formado por todos os adxectivos, xa que os dous subconxuntos son disxuntos entre si (se un adxectivo pertence a un deles, non pertence ao outro), ningún dos dous subconxuntos é o baleiro (xa se proporcionou algún exemplo de cada) e a unión de ambos os subconxuntos é igual ao conxunto de todos os adxectivos (dado calquera adxectivo, debe ser ou ben autolóxico ou ben heterolóxico, xa que un adxectivo ou ben se describe a si mesmo ou ben non o fai).
Porén, se vostede me fixo caso e elaborou a súa propia clasificación cunha listaxe de certa consideración, seguro que enfociñou con algunha que outra controversia. De non ser así, xa poño eu sobre a mesa exemplos polémicos: ‘enigmático’ é autolóxico ou heterolóxico? Dependerá da consideración que lle demos á palabra. E dito dun son, ‘alto’ é autolóxico ou heterolóxico? Se murmuro sería heterolóxica, se berro aos catro ventos calificaríaa de autolóxica. Tal parece que a condición de partición xa non está tan clara pois, realmente se trata de subconxuntos disxuntos?
Estas preguntas, non obstante, non son suficientes para establecer firmemente unha situación paradoxal, que en realidade se manifesta se eu lle pregunto: <<o adxectivo ‘heterolóxico’ é heterolóxico?>>. Antes de seguir lendo medite ben a súa opinión, non se prive do pracer de elaborar o seu propio argumento, sería unha mágoa deixar pasar unha oportunidade para gozar da reflexión. Déase uns minutiños, e só despois continúe co seguinte parágrafo.
Se contestamos á pregunta cun <<non>>, significa que ‘heterolóxico’ debe ser un adxectivo autolóxico, e en consecuencia tería que describirse a si mesmo, polo cal heterolóxico tería que ser heterolóxico, e estariamos caendo nunha contradición.
Por outra banda, se a resposta é <<si>>, ao afirmar que é un adxectivo heterolóxico estamos a dicir que non se describe a si mesmo, e isto querería dicir que non pode ser heterolóxico, e de novo caemos en flagrante contradición.
Resumindo: dá igual que consideremos o adxectivo ‘heterolóxico’ como autolóxico ou como heterolóxico, que acabamos por chegar a unha contradición lóxica. E agora que facemos? Como se desfai esta lea?
Pois acudimos de novo á teoría de conxuntos, e daremos algunhas definicións un pouco máis xerais que nos permitan enfrontar o problema que achegou Bertrand Russell (1872-1970, figura 2). Un problema que, nada máis e nada menos, ameazou os alicerces das matemáticas aló polo comezo do século XX, e motivou que matemáticos e lóxicos se tiveran que empregar a fondo para conseguir fundamentar unha teoría de conxuntos consistente.
Imos aló: un conxunto normal é aquel que non se contén a si mesmo, en troques un conxunto singular é aquel que si se contén a si mesmo. Esta última definición é a que pode ofrecer un chisco máis de incomprensión, pero resulta doado pensar nun exemplo coma o conxunto formado por todo aquilo que non é un libro de divulgación matemática; ese conxunto claramente non é un libro de divulgación matemática, e por conseguinte é un membro de si mesmo, trátase pois dun conxunto singular.
Ambas as propiedades son excluíntes, disxuntas. Un conxunto é ou ben normal ou ben singular, non hai outra opción nin se poden dar as dúas á vez. É a xeneralización dos termos heterolóxico/autolóxico dos que falabamos antes, e con eles o paradoxo xorde ao considerar o conxunto tal que os seus elementos son todos os conxuntos normais que se poden formar. Trátase dun conxunto normal ou singular? Pénseo vostede detidamente, e verá que chega a contradicións semellantes ás que apareceron unhas cantas liñas atrás.
A forma na que as matemáticas se “libraron” de tan espiñento asunto veu dada polos traballos do propio Russell e de outros científicos coma Ernst Zermelo (1871-1953), Abraham Fraenkel (1891-1965) ou Thoralf Skolem (1887-1963). Basicamente, o que se decidiu foi basear as matemáticas que coñecemos nunha teoría de conxuntos na cal directamente non se poidan considerar conxuntos singulares. Así de simple. Ben, en realidade de simple non ten nada, é algo mooooi complexo, que se asentou coa axiomática de Zermelo-Fraenkel, denominada ZFC e vixente na actualidade, e que se complementa co axioma da elección, outro asunto que podemos de xulgar, cando menos, delicado.
Até que se tiveron en conta estas consideracións, era posible definir un conxunto simplemente de xeito tal que os seus elementos satisfagan unha certa propiedade. Iso era o que daba pé a propoñer paradoxos, e a teoría ZFC o que fixo foi poñer un couto aí mediante o chamado esquema axiomático de especificación, que é o que impide a construción de conxuntos singulares dentro deste sistema axiomático. E ímolo deixar xa neste punto, que comezamos a navegar por augas que nos levan máis aló dos obxectivos que guían este espazo.
Chegados aquí, e coma noutras ocasións, é un bo momento para formular máis propostas e preguntas que xorden co “pretexto” deste curioso paradoxo de Grelling-Nelson . Así que velaí vai un consello: busque vostede información sobre o paradoxo do mentiroso e mais sobre o paradoxo do barbeiro que mencionei ao principio do apartado -se non sabe deles xa, claro-. E se quere cavilar un anaco máis, pense se existen máis adxectivos autolóxicos ou heterolóxicos, a ver se chega á mesma conclusión ca min. Ou intente decidir se o adxectivo ‘autolóxico’ é ou non é autolóxico. E por último, entre as palabras que ben poden caer en calquera dos dous subconxuntos, a ver que me di sobre este último exemplo: final.
Algunhas referencias:
-
Clark, Michael (2007). Paradoxes from A to Z. Routledge, Londres.
-
Gaussianos. “La paradoja de Russell”. Recuperado o 20/04/2024 desta ligazón.
- Meyer, James R. “The Grelling-Nelson paradox”. Recuperado o 20/04/2024 desta ligazón.
-
Newhard, Jay (2005). “Grelling’s Paradox”. Philosophical Studies, n.º 126, pp. 1-27.
-
Segerman. “Autological words”. Recuperado o 20/04/2024 desta ligazón.