O paradoxo de San Petersburgo

Xa teño referido en máis ocasións que o cálculo de probabilidades resulta contraintuitivo con bastante frecuencia. Seguramente sexa o campo das matemáticas que máis experimenta esta característica. Neste mesmo blog xa desfilaron a falacia da acusación ou o paradoxo de Bertrand, e nos Bocados Matemáticos (Edicións Xerais, 2022) tamén recollín o paradoxo de Ellsberg ou o do truelo. E moitos máis que hai. Un dos máis coñecidos é o paradoxo de San Petersburgo. Ten bastante sona no ramo, agardo que non saiba del aínda para que me acompañe nestas liñas.

Pero antes de mergullarnos no asunto, unha curiosidade ao respecto desta poboación rusa: sabía vostede que San Petersburgo (figura 1) houbo unha época na que se denominou Leningrado (de 1924 a 1991) e outra na que recibiu o nome de Petrogrado (de 1914 a 1924)? Se peitea canas abofé que o sabía, se é da xeración Z igual era un dato do que igual non tiña constancia. Nese caso, busque información, busque. É historia.

Figura 1 - San Petersburgo — Figura 1 – San Petersburgo. Fonte: Wikimedia Commons.

A cidade, non obstante, ten pouco que ver co problema propiamente dito. O paradoxo foi proposto en 1713 por Nicolás Bernoulli (1687 – 1759, non confundir co seu curmán homónimo nado en 1695), nunha carta a Pierre Rémond de Montmort. Tras non chegar a unha solución clara, e sendo a súa unha versión complexa do paradoxo, consultouno co seu parente Daniel Bernoulli (1700 – 1792, figura ). E si, na familia Bernoulli houbo varios matemáticos. Aínda diría máis: houbo moitos. Outra liña da que tirar cando teña vagar e tempo libre. Pois ben, Daniel estudou o problema, reflexionou longamente sobre el e acabou publicando unha proposta solución en 1738, nas Actas da Academia de Ciencias de San Petersburgo. De aí tomou nome o paradoxo.

Figura 2 - Daniel Bernoulli — Figura 2 – Daniel Bernoulli, arredor de 1750. Fonte Wikimedia Commons.

Formúlase un xogo como segue: lánzase unha moeda tantas veces como faga falla até que saia cruz por primeira vez, momento no cal se detén o xogo. Faise o reconto do número de tiradas efectuadas e a persoa apostante obtén $2^n$ € (obviamente, Bernoulli non usaba euros, pero para nós é máis doado pensalo así). É dicir, que se sae cruz no primeiro lanzamento, gaña $2^1=2$ €, se sae no segundo gaña $2^2=4$ €, se sae no terceiro $2^3=8$ € e así sucesivamente. O problema achegado por Bernoulli foi a conta das apostas: cal é a cota inicial que debería poñer a persoa que vai participar, para que o xogo sexa xusto?

Cómpre aclarar que un xogo no que median apostas é considerado xusto se a cota inicial que se paga por participar coincide co valor medio da ganancia. Enténdese ben cun exemplo simple, no cal se organiza unha rifa con 1000 papeletas para elixir un número gañador que leva de premio 200 €. Os beneficios esperados veñen dados polo produto entre o posible beneficio e a probabilidade coa que se logra. Neste exemplo, 1 das 1000 papeletas gaña 200 €, mentres que as 999 restantes sacan 0 € do sorteo. É dicir, que a ganancia esperada, e por tanto o prezo xusto de cada papeleta, é

$\dfrac{1}{1000}\cdot 200 + \dfrac{999}{1000}\cdot 0 = 0,20+0=0,20 \text{ euros}.$

No problema de San Petersburgo tense unha situación do mesmo estilo, pero o cálculo é algo máis complicado polo simple feito de que non se pode saber de antemán cantas veces se tirará a moeda. Pero a pregunta que xorde é igualmente é canto deberiamos estar dispostos a pagar por botar unha partida.

As posibles ganancias dependen do número de lanzamentos que haxa que facer até obter unha cruz, pero tendo iso en conta están claras: 2 €, 4 €, 8 €, 16 € etc. A probabilidade de cada unha tampouco é difícil de calcular. Só hai dúas posibilidades de gañar 2 €, se a partida remata cando empeza, o cal en unha probabilidade de $\frac{1}{2}$ .

Para gañar 4 € cómpre sacar cara na primeira tirada e cruz na segunda. Iso significa que a probabilidade deste caso é $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ . Os 8 € obtéñense mediante unha secuencia cara-cara-cruz, que corresponde cunha probabilidade $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$ . E creo que xa se observa o padrón: se a primeira cruz aparece na tirada k-ésima, a probabilidade é $\left(\frac{1}{2} \right)^k = \frac{1}{2^k}$ .

Como consecuencia de todo isto, e paralelamente ao exemplo da rifa, a ganancia media esperada é

$\dfrac{1}{2}\cdot 2 + \dfrac{1}{4}\cdot 4 + \dfrac{1}{8}\cdot 8 + \dots + \dfrac{1}{2^k}\cdot 2^k + \dots ,$

expresión na cal todos os termos teñen como resultado 1, e por tanto queda

$1+1+1+\dots + 1+\dots$

Esa suma é infinita. Conclusión? A ganancia esperada deste xogo debe ser de infinitos euros. Por tanto, a cota inicial debería ser infinita para ser xusta. Vamos, que se alguén lle propón xogar poñendo de entrada 100 000 €, debería aceptar, xa que a ganancia esperada supera esa cantidade… a pesar de que para superala teñen que aparecer 16 caras seguidas antes de vermos a primeira cruz. Isto é porque $2^{16}=65\, 536$ e $2^{17}=131\, 072$ .

Xogaría vostede se ten que poñer esa aposta? Vai ser que non, verdade? Pois velaí o paradoxo, porque segundo a ganancia esperada deberiamos aceptar calquera cota de entrada. Calquera. Namentres, o noso sentido común dinos que diso nada.

A solución ao problema, xa proposta por Daniel Bernouilli, é que unha certa cantidade de diñeiro non ten o mesmo valor para todo o mundo. É unha cuestión subxectiva. Cambia o conto dun xogador habitual a alguén que só vai probar cunhas poucas partidas, e máis aínda se adoptamos o punto de vista dun casino que está pensando en implementar o xogo. No fondo, cada persoa decide cal é a cantidade máxima que está disposta a apostar en función da utilidade que para ela teña esa cantidade concreta.

Non se trata, entón, dun paradoxo baseado no infinito (e mira que o infinito e fonte case inesgotable de situacións paradoxais), senón da forma na que baseamos o risco. Que é algo do que xa teño falado (no paradoxo de Allais ou no paradoxo de Ellsberg que recollín nos Bocados Matemáticos). Resulta que en situacións de incerteza non todo o mundo busca o mesmo tipo de resultados se as decisións pesan sobre ganancias ou sobre perdas. Falamos entón da teoría da utilidade, segundo a cal en decisións tomadas con certo grao de incerteza, a elección preferida polos será aquela que conte cunha utilidade esperada máis alta.

O problema de San Petersburgo ten unha variante de interese, que se produce ao limitar o número máximo de tiradas. De alcanzalo, o xogo remata e non se gaña nada. Por exemplo, fixando o devandito límite en 10 lanzamentos, a ganancia esperada sería de 10 €, e non infinita. Atreveríase a xogar nese caso, cunha aposta inicial de 10 €? Moito me temo que a teoría da utilidade segue vixente, e a decisión variaría dunha persoa a outra, igual que variaría se o límite é 100, no canto de 10.

Ademais, en todo isto tamén inflúen notablemente as crenzas de cadaquén e a nosa intuición probabilística. Que saian 16 caras seguidas antes da primeira cruz ten unha probabilidade de ocorrencia semellante a que na lotería o meu número (entre 100 000) sexa o premiado. Non obstante, a percepción da maioría da xente non é a de valorar ambas con probabilidades case iguais.

Foi precisamente Daniel Bernouilli quen, co seu artigo sobre este paradoxo, sentou as bases para a teoría da utilidade, que logo se desenvolvería amplamente no século XX. Propuxo tamén unha forma de cuantificar o aumento da utilidade cando a nosa fortuna para de b euros a a euros:

$\Delta U = \ln (a) - \ln (b)$

Esta fórmula tamén permite calcular a utilidade que se obtén, de participar no xogo de San Petersburgo. Sendo c a cota inicial e b o capital inicial da persoa, se o xogo acaba na 1.ª tirada o novo capital será b – c + 2 euros (con probabilidade $\frac{1}{2}$ ), se acaba na 2.ª será b – c + 4 (con probabilidade $\frac{1}{4}$ ), e así sucesivamente. O incremento da utilidade, en media, será

$\Delta U_{med} = \ln (b-c+2) \cdot \dfrac{1}{2} + \ln (b-c+4)\cdot \dfrac{1}{4} + \dots - \ln (b).$

Deste xeito, a cota inicial que estamos en disposición de pagar é a que fai que este incremento medio da utilidade sexa cero. Haberá que resolver, pois, a ecuación $\Delta U_{med}=0$ . Obviamente, esa cota c depende do valor do capital inicial b, e é que non supoñen 100 € o mesmo para quen gaña 1000 € ao mes que para quen ten un soldo de 20 000 €. Iso si, trátase dunha ecuación que non se resolve facilmente, e aquí non imos enfrontar ese cálculo. Deixaremos aquí o tema indicando só unha das súas propiedades, que a cota c medra sen parar cando o fai o capital inicial b, como non podía ser doutro xeito. Para máis información, acuda ás referencias.

Algunhas referencias:

Fernández Fernández, Santiago (2021). Azar y probabilidad en matemáticas. Los Libros de la Catarata, Madrid.
Parrondo, Juan M. R. (2007). La paradoja de San Petersburgo y la teoría de la utilidad. Investigación y ciencia, n.º 366, pp. 88-89.
Stanford Encyclopedia of Philosophy. <https://seop.illc.uva.nl/entries/paradox-stpetersburg/>

Deixa un comentario Cancelar a resposta