Área do triángulo

O problema isoperimétrico consiste en atopar a curva que maximiza a área da rexión que encerra, tendo esta un perímetro fixo. Este estudo leva a observar cómo o perímetro e a área dunha figura teñen unha relación inestable, e isto faise patente xa cunha forma tan elemental coma é o triángulo. Na figura 1 vense cinco triángulos todos coa mesma área (comparten base e teñen a mesma altura, e así o será se o vértice oposto á base común xace sobre unha paralela a ela) pero non o mesmo perímetro. Nesta entrada imos facer algunhas consideracións precisamentre respecto da área do triángulo.

Unha desas enquisas que nunca levo á práctica pero da que estou seguro do seu resultado sería «cal é a fórmula para calcular a área dun triángulo?». Calquera persoa saída das aulas de secundaria deste país respondería ao momento «base por altura partido por dous». Grazas a ela é doado comprobar a afirmación do parágrafo anterior, e é que se dous triángulos teñen a mesma base e a súa altura mide o mesmo, entón a súa área por forza ten que ser igual.

Pero, todas esas persoas (non) enquisadas saben de onde provén a dita fórmula? Algunha vez se preguntaron, ou lles mostraron, o seu significado xeométrico? Dedúcese a partir da fórmula da área dun paralelogramo (que é base por altura, simplemente), pero paréceme de especial interese a descomposición xeométrica que pode verse na figura 2¹.

Ademais de moi coñecida, esa fórmula é de grande utilidade cando se está a traballar con triángulos, non cabe dúbida. Permite coñecer a área da figura a partir de tan só dous datos, de dúas medidas. Non está mal. Non obstante, esa situación non sempre é a idónea. É posible que a altura non sexa facilmente medible, por exemplo. Ben, unha cuestión que ás veces se pasa por alto é que calquera dos tres lados pode exercer de base, e por tanto existen tres posibles alturas. En ocasións unha altura é complicada de medir mais outra non, e problema resolto.

Pero incidindo nas dificultades que achega esta fórmula, temos que a base é un lado, mentres que a altura é unha das rectas notables do triángulo². Dalgún xeito, son dous datos diferentes, coma se pertencesen a categorías distintas. Se un para a facer unha reflexión sobre a relación entre a forma da figura e a medida da superficie que ocupa, creo que unha das primeiras preguntas que xorde ben podería ser: «e non haberá unha fórmula para calcular a área do triángulo se o que coñecemos son os seus tres lados?». Parece o natural, pois cabería pensar que os tres lados son os que definen o triángulo, os que o caracterizan. Se un vai debuxar un triángulo no primeiro que pensa é precisamente nos lados, e non na altura.

Pois ben, esa fórmula… si que existe! Eureka! Loadas sexan as matemáticas! E non só existe, senón que incluso ten nome propio. É a coñecida coma fórmula de Herón³, que di o seguinte:

   

, onde a,b,c son os lados do triángulo e s é o semiperímetro do triángulo, a metade do seu perímetro, é dicir . Vamos, que para poder aplicar esta fórmula tan só hai que coñecer o valor dos tres lados a,b,c. Tachán!

E por que non se ensina esta fórmula habitualmente nas aulas de secundaria? Pois seguramente porque a súa demostración é bastante máis difícil que a da fórmula mencionada uns parágrafos máis arriba. Xoga claramente noutra liga, dado que aqueloutra é moi doada e intuitiva. Porén, quizais sexa este un bo momento para posicionarse coa fórmula de Herón e reclamar a súa introdución nas aulas. A súa utilidade está ben clara, incluso aínda que teñamos que prescindir da demostración.

Non sei se vou ser quen de conseguilo, pero agora teño intención de conseguir un efecto de sorpresa en vostede: resulta que esas dúas non son as únicas fórmulas para calcular a área dun triángulo! Que, conseguino? Sexa que si ou sexa que non, vexamos outra opción, para o cal precisamos contar coa circunferencia inscrita ao triángulo.

Quizais conveña facer un pequeno inciso antes de chegarmos á nova fórmula. Imos aló. En todos os triángulos existen tres bisectrices, que son as rectas que dividen cada ángulo do triángulo en dúas partes iguais. Esas tres bisectrices córtanse sempre nun mesmo punto chamado incentro, e con este último coma centro é posible trazar unha circunferencia tanxente ao triángulo. Chámase circunferencia inscrita ao triángulo, e que sexa tanxente con el significa que o toca en tres puntos pero non o atravesa por ningures. É un feito que ocorre para todos os triángulos, e pode verse unha representación na figura 3.

Xa estamos ben situados para chegar á nova fórmula dá área, que é , onde ao igual ca antes s é o semiperímetro do triángulo, , e r é o raio desa circunferencia inscrita. A súa demostración é máis sinxela que a da fórmula de Herón, baséase na descomposición do triángulo en tres triángulos máis pequenos tales que a súa base é cada un dos lados a,b,c e a súa altura é xusto o raio r, e en aplicar a primeira das fórmulas que vimos, a de máis sona.

Calquera podería pensar aquí que esta fórmula non compensa sobre a de Herón, xa que fan falla os tres lados pero tamén un dato a maiores. Ah, pero resulta que na de Herón é imprescindible coñecer os tres lados, e esta nova fórmula pode ser útil en situacións nas que contemos unicamente co perímetro do triángulo, pero non coa división exacta deste nos seus tres lados. Trátase dunha alternativa máis para medir a súa superficie, e xa levamos tres!

Non pense vostede que con tres basta, non. Hai unha cantas fórmulas máis para calcular a área dun triángulo, e non me refiro a expresións especialmente rebuscadas. Existe unha a partir de dous lados coñecidos e o seno do ángulo que forman (trigonometría; seno, coseno e tanxente, son máis matemáticas da escola, lémbrase? Puido estudala nos últimos anos da secundaria). E outra que usa determinantes (si, eses que se estudan no último ano de bacharelato). Tamén está o curioso teorema de Pick, do que xa falei eu mesmo nos Bocados Matemáticos (Xerais, 2022)… pero creo que todo iso vai quedar para outra ocasión. Por suposto, sempre existe a opción de que vostede investigue unha migalla pola súa conta, pero en todo caso, lembre que todo isto “só” son triángulos!

Unha referencia:

• García Gual, Jesús e Mercedes Sánchez Benito. Protagonistas olvidados en geometría. Revista Suma n.º 90.

1 Pode verse de forma dinámica en <https://www.geogebra.org/m/HDa3nwtw>.

2 Nun triángulo as rectas notables son basicamente as alturas, as medianas, as mediatrices e as bisectrices. Nun mesmo triángulo hai tres de cada tipo.

3 Debémoslla a Herón de Alexandría (10 – 70), que foi un importante matemático e enxeñeiro aló polo século I.