Os tres problemas clásicos da regra e o compás

Por influencia da escola pitagórica, os matemáticos da Antiga Grecia concedían gran importancia á xeometría. Dentro desta, gozaban de especial consideración as construcións con regra e compás. O cal non quere dicir que construíran todas as súas figuras planas coa axuda de unicamente estes dous utensilios, senón máis ben que estaban convencidos de que tales construcións eran as máis elegantes. Pero tampouco lles valían todas, e así na xeometría clásica as construcións con regra e compás entendíanse coma o trazado de puntos, segmentos de recta e circunferencias usando exclusivamente unha regra e un compás idealizados. Entre elas atópanse tres construcións que pola súa importancia e relevancia deron en ser chamadas ‘os tres problemas clásicos da regra e o compás’.

Pero comecemos polo principio. Por un lado, suponse que a regra ten unha lonxitude infinita e carece de marcas coas que realizar medicións. É dicir, emprégase para trazar unha recta entre dous puntos prefixados ou ben para prolongar tanto como se desexe unha recta xa existente.

A outra ferramenta, o compás, permite trazar circunferencias con calquera raio que se queira. Porén, só pode abrirse entre puntos previamente construídos, así que en realidade a súa única función é trazar unha circunferencia (ou un anaco dela, o que chamamos un arco de circunferencia) cun centro predeterminado e un raio tamén determinado por un punto prefixado. Ademais, suponse que se pecha cando se separa do papel, de xeito que non ten memoria senón que “esquece” cal era a medida utilizada e non permite repetila.

Tras impoñer estas restricións sobre os utensilios básicos, o seu uso limítase a aplicar cinco construcións básicas, podendo usar en cada unha delas os puntos, rectas e/ou circunferencias creadas en pasos anteriores. Esas fundamentais son:

1. Crear un segmento de recta que une dous puntos xa existentes, ou alongar un xa construído.

2. Crear unha circunferencia con centro nun punto dado e que pasa por outro punto dado.

3. Crear un punto no cal se intersecan dúas rectas non paralelas.

4. Crear un punto ou dous nos cales se intersecan unha recta e unha circunferencia.

5. Crear un punto ou dous nos cales se intersecan dúas circunferencias.

E velaquí as normas clásicas da xeometría da regra e o compás. Con ela é posible abordar numerosas cuestións matemáticas, pero o máis curioso é que as máis habitualmente asociadas coa regra e o compás son xusto tres que non se poden resolver mediante estas normas. Trátase dos coñecidos coma os tres problemas clásicos da xeometría da regra e o compás: a cuadratura do círculo, a duplicación do cubo e a trisección do ángulo.

A cuadratura do círculo consiste en construír un cadrado con igual área que un círculo dado. A duplicación do cubo achega a construción do lado dun cubo tal que o seu volume sexa o dobre de outro cubo de lado coñecido. A trisección do ángulo procura construír un ángulo que sexa xusto a terceira parte de outro ángulo dado. Todo iso con regra e compás, claro, que permitindo outros métodos si teñen solución, e nin sequera moi complicada. Por exemplo, con papiroflexia é relativamente doado chegar á trisección dun ángulo, a pouco que un teña un chisco de habilidade manual, e a duplicación do cubo é posible se permitirmos unha regra con dúas marcas, o cal cae fóra das normas clásicas.

Dende que os gregos os formularon e até o século XIX a resolución destes tres problemas foi abordada en multitude de ocasións, sempre con resultados insatisfactorios. E é que no fondo deste asunto reside a imposibilidade de lograr tales construcións seguindo as normas xa citadas. Durante todo ese tempo a gran maioría dos intentos buscaban atopar a construción que permitise resolver o problema, pero o que sucedía é simplemente que non existe tal cousa.

No ano 1882 Ferdinand von Lindemann (1852 – 1939, figura 2) demostrou que o número π é transcendente, o cal quere dicir que non é solución de ningunha ecuación alxébrica con coeficientes enteiros. E diso pode deducirse que é imposible, dada unha lonxitude dada, construír con regra e compás outra lonxitude π ou veces máis longa. Por tanto, a cuadratura do círculo non é resoluble coa xeometría da regra e o compás.

Respecto aos outros dous problemas clásicos, foi Pierre Wantzel (1814 – 1848) quen publicou no ano 1837 a demostración da súa imposibilidade. Conseguiu a proeza de acabar, tras tantos séculos, con dous dos problemas dunha tacada porque o peso de ambas as demostracións recae sobre un mesmo resultado que hoxe en día coñecemos coma o teorema de Wantzel. O que di este teorema é que un número é construíble se a raíz do seu polinomio mínimo é unha potencia de 2.

Para o caso do cubo, baseouse en que os lados de ambos os cubos deberían ser proporcionais con razón , e este é un número alxébrico (ao contrario que un transcendete, si é solución de algunha ecuación alxébrica con coeficientes enteiros), pero non pode obterse dos números enteiros mediante suma, resta, multiplicación, división e extracción de raíces cadradas, que son as únicas que poden facerse con regra e compás. Aplicando o teorema de Wantzel, o seu polinomio mínimo é , irredutible e de grao 3, que obviamente non é unha potencia de 2.

A imposibilidade da trisección do ángulo baséase nun argumento similar ao da duplicación do cubo, a equivalencia do problema coa obtención dun número que non sexa construíble con regra e compás. Os cálculos para chegar a tal número son un chisco máis complicados, aínda que perfectamente comprensibles para quen recorde a trigonometría do bacharelato (aquilo dos senos e os cosenos). Baste saber que aplicando debidamente as fórmulas trigonométricas un obtén un polinomio mínimo da forma , sendo a un número que depende de cal sexa o ángulo que queremos trisecar (concretamente, é o coseno dese ángulo). Novamente, o polinomio ten grao 3, que non é unha potencia de 2 e o teorema de Wantzel asegura a imposibilidade de resolver o problema da trisección do ángulo.

Deixamos así os tres problemas clásicos da regra e o compás, e para outra ocasión queda que tratemos a construción dos polígonos regulares coa regra e o compás, que sen saírmos da xeometría clásica é tamén un tema de gran interese.

Algunhas referencias:

• Blog Compás e Regra.

• Durán, Antonio J. (2018). Crónicas matemáticas: Una breve historia de la ciencia más antigua y sus personajes. Crítica, Barcelona.

• Pan Collantes, Antonio Jesús (2005). Construcciones con regla y compás. Acta de Mathematica Vulgata, volume 1.