Resolvendo un problema de homotecias

As isometrías do plano son transformacións xeométricas que conservan a distancia entre dous puntos. Son isometrías as translacións, as rotacións ou xiros e as simetrías. Porén, existen outros tipos de transformacións que si cambian as distancias; entre estas imos falar aquí das homotecias.

A definición rigorosa de homotecia é esta: dados un punto fixo O e un número real k, distinto de cero, a homotecia é aquela transformación na que a cada punto P se lle asigna outro punto P’, aliñado con O e P, de tal xeito que $\frac{OP'}{OP}=k$ (figura 1).

Nesta homotecia, OP'/OP = 3a, é dicir, a distancia entre O e P' é o triplo da distancia entre O e P. — Figura 1. Nesta homotecia, $\frac{OP'}{OP}=3$ , é dicir, a distancia entre O e P’ é o triplo da distancia entre O e P.

Na definición de homotecia está implícita esta propiedade: se aplicamos a homotecia a un punto, obtense outro punto. Non é difícil darse conta de como as homotecias transforman as formas máis simples e habituais do plano; reparemos nalgúns casos.

Unha recta que pasa por O estírase sobre si mesma ao aplicarlle a homotecia. Basta ver a figura 1 para decatarse de que nela cada punto P se separa de O, acabando ao triplo de distancia pero sempre sobre a mesma recta.
Unha recta que non pasa por O transfórmase nunha recta paralela a ela, que está a unha distancia k veces máis grande de O.

Figura 2. Homotecia aplicada a unha recta r que non pasa polo centro O.

Na figura 2 tense que $k=3$ , a homotecia leva a que $\frac{OQ'}{OQ}=3=\frac{OP'}{OP}$ . De aí que os triángulos OPQ e OP’Q’ son semellantes, co que os ángulos destes con vértice en Q e en Q’ son iguais e, polo tanto, r e s son rectas paralelas.

Unha circunferencia cun centro C que sexa distinto de O transfórmase… noutra circunferencia cun centro C’ que está sobre a recta que une C con O, e con raio k veces máis grande, claro.

A circunferencia c' é homotética á circunferencia c con k=3. — Figura 3. A circunferencia c’ é homotética á circunferencia c con k=3.

Neste caso (figura 3), un punto P da circunferencia transfórmase en P’. A definición de homotecia dinos que $\frac{OP'}{OP}=3=\frac{OC'}{OC}$ e de aí é que os triángulos OPC e OP`C’ son semellantes, polo que se ten tamén que $\frac{P'C'}{PC}=3$ , é dicir que se o raio da circunferencia c é r, entón o da circunferencia homotética c’ é 3r.

Tras o estudo das homotecias nestas figuras sinxelas creo que xa estamos en condicións de xeneralizar: unha homotecia é, basicamente, un cambio de escala que se fai en relación cun punto fixo ao que se adoita chamar centro. Se $k>1$ , a homotecia é unha ampliación da imaxe; se $0<k<1$ , é unha redución.

Figura 4. Dous veleiros coa mesma forma e distinto tamaño. Dicimos que están a escala.

Se temos dous obxectos a escala coma os da figura 4, é posible saber cal é o centro da homotecia? A resposta é afirmativa: basta con unir un punto co seu homotético, repetir o proceso con outro punto (e o seu homotético) e prolongar as rectas até que se corten no punto O (figura 5). Unha vez obtido, achar a razón de homotecia k tamén é doado, basta medir as distancias OP e OP’ e dividir: $\frac{OP'}{OP}=k$ .

Figura 5. Obtención do centro O da homotecia.

O descrito até aquí non é senón unha introdución ao que en realidade quería tratar: tres problemas sobre os que acabo de ler nas Aventuras matemáticas de Miguel de Guzmán. Tan só é que me apeteceu escribilos e compartilos.

► Primeiro problema: dados dous triángulos ABC e MNP, constrúe outro triángulo M’N’P’ de lados paralelos aos de MPN que teña os seus vértices así: M’ sobre a recta AC, N’ sobre a recta BC e P’ sobre a recta AB.

Un primeiro achegamento a moitos problemas, polo menos para familiarizarse con el, é o da “forza bruta”. Neste caso, pode comezarse por fixar un punto calquera do triángulo ABC (sen perda de xeneralidade, vouno poñer sobre o lado AB) e trazar paralelas ao triángulo MNP, ben sexa con papel e lapis acompañados de escuadro e cartabón, ou ben con GeoGebra, que é a opción que eu elixín. Na figura 6 pode verse un primeiro resultado, no que primeiro se coloca P₁, a continuación obtense M₁… e así N₁ quedoume “curto”.

Figura 6. No primeiro intento queda “curto”.

Tenteando, tenteando un pode achegarse moito, ás veces quedaremos curtos e ás veces pasarémonos (figura 7). Obter unha aproximación é doado, pero obter o punto exacto non o é.

Figura 7. No segundo intento o vértice final “pásase”.

Porén, como os triángulos $M_1N_1P_1$ e $M_2N_2P_2$ teñen os seus lados correspondentes paralelos, resulta que os triángulos $AP_1M_1$ e $AP_2M_2$ son semellantes. Todo iso permite afirmar que, tal e como se fixo a construción, $M_1N_1P_1$ e $M_2N_2P_2$ son tamén homotéticos, co centro da homotecia situado no vértice A.

E grazas a esta homotecia, resulta que os vértices N₁ e N₂ están aliñados con A, do mesmo xeito que calquera outro que podamos achar da mesma forma. Deste xeito, basta con trazar esa recta e marcar a intersección co lado BC: o punto N (figura 8).

A recta que pasa por A, e permite obter o punto sobre un lado do triángulo inicial ABC — Figura 8. A recta que pasa por A, N₁ e N₂ permite obter o punto N’ sobre un lado do triángulo inicial *ABC*.

Recapitulemos: hai que comezar cun triángulo $M_1N_1P_1$ que non é solución do problema. A continuación trázase a recta que pasa por A e polo vértice “solto” N₁. Obtense o punto de corte N’ entre esta recta e o lado BC. Trázase a paralela a MN que pasa por N’ para obter M’, e a paralela a NP que pasa por N’ para obter P’. Feito! Xa se ten o triángulo M’N’P’ (figura 9), que se pode comprobar que é semellante a MNP. E, en realidade, podemos obter a solución sen necesidade de trazar o triángulo …

O triángulo M'N'P' é a solución ao problema. — Figura 9. O triángulo *M’N’P’* é a solución ao problema.

E aquí remata este primeiro problema no que botamos man das homotecias… pero Miguel de Guzmán propón un segundo, algo máis esixente, que veremos proximamente noutra entrada.

Relacionado con isto:

Guzmáz, Miguel de (1986). Aventuras matemáticas. Editorial Labor, Barcelona.
Resolvendo un segundo problema de homotecias e un terceiro, neste mesmo blog. Proximamente.

Deixa un comentario Cancelar a resposta