Un segundo problema de homotecias

Na entrada anterior introducimos as homotecias e vimos como resolver o primeiro dos problemas que propón Miguel de Guzmán nas súas Aventuras matemáticas. Se vostede aínda non a leu, pode facelo en 👉 [https://paulo.gal/un-problema-de-homotecias/]

Toca agora enfrontarnos a un segundo problema de homotecias…

► Segundo problema: dada unha circunferencia c xunto cun triángulo MNP, constrúe outro triángulo M’N’P’ de lados paralelos aos de MNP de tal xeito que M’, N’ e P’ estean sobre c.

Xa que é un problema semellante, a primeira idea que nos pode vir á cabeza é probar a mesma estratexia que antes (figura 1). Tras varios triángulos dese estilo, rapidamente se ve que nos vértices N₁, N₂…  non forman unha recta. O GeoGebra ten unha ferramenta idónea para isto, a de Activar rastro; ao activar esta propiedade na configuración de N₁ vese a forma que adopta o lugar xeométrico dese punto (figura 2). Non é unha recta, non.

Isto significa que os sucesivos triángulos , etc. que podemos ir creando son homotéticos, pero en cada caso o centro da homotecia cambia. Polo tanto, a estratexia anterior non serve para este problema. Non obstante, o quid da cuestión segue a ser as homotecias; simplemente, hai que buscar unha que se adecúe.

O único que precisamos é cambiar o punto de vista. No canto de atacar directamente o triángulo, imos empregar primeiro a circunferencia. É ben sabido que, dado un triángulo, a circunferencia que pasa polos seus tres vértices é a que ten por centro o circuncentro, que é o punto no que se cortan as mediatrices do triángulo. Con GeoGebra só fan falla uns poucos clics (figura 3, sabe vostede trazala con regra e compás?).

Unha propiedade das homotecias é que dúas circunferencias calquera, de distinto raio, sempre son homotéticas. O centro O da homotecia é fácil de calcular, tal e como fixeramos cos veleiros na entrada anterior: é o punto onde se cortan as tanxentes exteriores das circunferencias (figura 4, sabe vostede trazalas con regra e compás? GeoGebra integra unha ferramenta que o fai…). Ademais, se tomamos os puntos de corte T e T’ dunha desas tanxentes con cada circunferencia, a razón da homotecia é .

Unha vez determinada esta homotecia, só hai que transformar con ela o triángulo inicial MNP e xa se obtén o triángulo M’N’P’ buscado (figura 5).

E aquí remata este segundo problema no que botamos man das homotecias… pero Miguel de Guzmán propón un terceiro, que veremos proximamente noutra entrada.

Relacionado con isto:

• Guzmáz, Miguel de (1986). Aventuras matemáticas. Editorial Labor, Barcelona.

• Resolvendo un primeiro problema de homotecias, neste mesmo blog.

• Resolvendo un terceiro problema de homotecias, neste mesmo blog. Proximamente.