Un terceiro problema de homotecias

Hai dúas entradas introducimos as homotecias e vimos como resolver o primeiro dos problemas que propón Miguel de Guzmán nas súas Aventuras matemáticas. Se vostede aínda non a leu, pode facelo en 👉 [https://paulo.gal/resolvendo-un-problema-de-homotecias/]

Na entrada anterior resolvemos un segundo problema que se trata nese mesmo libro. Se vostede aínda non a leu, pode facelo en 👉 [https://paulo.gal/un-segundo-problema-de-homotecias/]

Toca agora enfrontarnos a un terceiro problema de homotecias…

► Terceiro problema: dado un triángulo ABC, constrúe un cadrado que teña un lado sobre BC, un vértice sobre AB e outro vértice sobre AC.

Este problema xa o coñecía dende antes de ler o libro de Miguel de Guzmán. Porén, a miña mala memoria non me permite recordar a referencia na que o encontrei, así que o meu crédito tamén para Guzmán, que o seu libro é de 1986 e teño a total seguridade de non ter lido sobre o problema antes desa data.

Nas Aventuras matemáticas, Guzmán trata a solución dos dous primeiros problemas e este terceiro limítase a propoñelo. Como xa o coñecía, non me sorprende a aparición das homotecias, claro está. Pero, unha vez vostede leu as dúas entradas anteriores, atrévese a intentar este? Funcionará a estratexia que serviu no primeiro, pero non no segundo?

De cara a escribir esta entrada, tamén elaborei un applet de GeoGebra que lle pode axudar a vostede. Comecei por marcar un punto calquera M₁ no lado BC do triángulo. A continuación tracei unha perpendicular e quedei coa súa intersección N₁ co lado AB do triángulo (figura 1).

Estes dous puntos serán vértices do cadrado buscado, determinan o seu lado. Así, trazando un par de perpendiculares máis, chégase a un cadrado que ten tres vértices na forma requirida, pero non o cuarto, P₁ , que se pode “pasar” ou quedar “curto” (figura 2).

Despois, é cousa de probar con varios cadrados e ver onde cae o vértice P₁, P₂ etc. No primeiro problema estaban aliñados, no segundo non. Aquí, de novo, están aliñados. Usando GeoGebra e a propiedade Activar rastro, enseguida o verá (figura 3).

Temos, por tanto, que os cadrados do tipo e son homotéticos con centro B. As homotecias, unha vez máis, acoden ao rescate e permiten resolver o problema.

O argumento, polo tanto, pasa a ser o mesmo que no primeiro problema que xa resolveramos: unha vez chegamos a un cadrado que non é solución do problema, a continuación trázase a recta que pasa por B e polo vértice “solto” P₁ (figura 4). Obtense o punto de corte P’ entre esta recta e o lado AC. A partir deste, trazando perpendiculares obtense o cadrado buscado MNPQ (figura 5).

Relacionado con isto:

• Guzmáz, Miguel de (1986). Aventuras matemáticas. Editorial Labor, Barcelona.

• Resolvendo un primeiro problema de homotecias e un segundo, neste mesmo blog.