O paradoxo da amizade

Xa teño falado nalgunha ocasión de teoría de grafos: unha rama das matemáticas que, curiosamente, ten a súa orixe nun problema moi concreto, o das pontes de Königsberg. Pero como hoxe non quería falarlle del, senón do paradoxo da amizade, limítome a lanzar o guante en espera de que vostede queira recollelo. Hai moitas referencias para profundar nel, pero permítome recomendarlle a de López e Fornals (2019), que o explican de forma moi sinxeliña, tomándoo como escusa para falar de matrices. Tres séculos despois de que Leonhard Euler (1707 – 1783) resolvese ese problema, na actualidade a teoría de grafos é unha das linguaxes máis potentes para describir redes, conexións e relacións.

Un grafo é un conxunto de vértices unidos por arestas. Un grafo son puntos e raias (figura 1). Unha definición moi simple, case elemental, tras a que se agocha unha ferramenta capaz de modelizar dende rutas de transporte até redes sociais ou circuítos eléctricos. Neste apartado imos achegarnos ás redes sociais e faremos agromar un curioso paradoxo.

Foi en 1991 cando o sociólogo Scott L. Feld observou que, en promedio, as amizades dunha persoa teñen máis amizades que esa persoa. Iso quere dicir, basicamente, que se fago un reconto de cantas amizades teño eu, e contacto con cada unha delas para preguntarlle cantas amizades ten, a media de todas elas é superior ao número de amizades que teño eu. Curioso, non si? E é que as persoas con moitas amizades teñen máis probabilidade de aparecer na lista de amizades doutra persoa. Se facemos o experimento nunha rede social en liña (Facebook, Instagram etc.), no canto de na vida social, o reconto é moi doado porque nin sequera teño que contactar con ninguén, a propia plataforma pon á miña disposición eses datos.

Este feito está xa moi estudado, e sabemos que se estende a outras relacións que non son estritamente a de amizade. Por exemplo, as súas parellas sexuais tiveron máis parellas sexuais ca vostede. Ollo coas comparacións, que as carga o diaño…

Iso si, estamos a falar de promedios, eh? O cal significa que isto non se cumpre para todas as persoas. Hai excepcións, e non poucas. Existe xente con máis amizades que as que teñen (en media) as súas propias amizades. O paradoxo só di que, facendo o promedio de toda a xente, se cumpre. Un caso concreto non xeneraliza. Cunha persoa ao azar pode darse un ou outro caso, é só ao xeneralizar cando aparece o sorprendente resultado.

Só hai que facer contas, que é precisamente como Feld chegou á súa conclusión: analizando os datos sobre a poboación adolescente recollidos polo sociólogo James S. Coleman (1926 – 1995).

Examinemos un dos exemplos de Coleman que estudou Feld, e que eu coñecín grazas a Clara Grima (n. 1971). Coleman pedira a estudantes de instituto que escribiran a súa lista de amizades no centro. Para a análise o sociólogo supuxo que a relación era recíproca (aínda que nas respostas reais, algunhas só se daban nun sentido… pero esa é outra historia), e algúns deses datos son os da figura 2.

Na táboa seguinte recóllese a análise dos datos do grafo de Coleman. O exemplo está tomado para que os números sexan pequenos e, por tanto, rápidos de calcular e de analizar. Cunha soa ollada pode verse que tan só dúas persoas, S e A, teñen máis amizades que a media das amizades das súas amizades. Nun caso (C) a cantidade coincide e en cinco é inferior (B, J, P, D, T).

No estudo completo, entre as 146 persoas participantes había 80 que tiñan menos amizades que a media das amizades das súas amizades, 25 para as que o dato coincidía e 41 que estaban por enriba. Esencialmente, as que tiñan menos eran o dobre que as que tiñan máis, algo moi revelador e que levou a Feld a explicar este fenómeno.

Sexan reais ou sexan por internet, o paradoxo da amizade faise patente; en liña é, ademais, facilmente estudable. E non é casualidade que no exemplo que aquí mostramos, as únicas persoas que tiñan máis son precisamente as que máis amizades tiñan elas mesmas. Son vértices especialmente conectados, son os influencers. Tome a rede social que queira e consulte o número de seguidores de calquera personalidade pública a quen siga. Poden chegar a contarse por millóns. Unha vez que fai a súa media, ese enorme número fará que esa media suba moito, máis que o número de amizades que ten. Porén, ese influencer é posible terá relación cunha morea de xente, pero ao calcular o promedio de amizades das súas amizades haberá moitas delas cun número moi baixo, co cal é probable que no seu caso quede por debaixo da súa propia cantidade. Nós, meros mortais, seremos como J ou T no exemplo; o influencer será S ou A.

Pensemos agora nunha situación na que pode resultar de utilidade botar man do paradoxo da amizade: ante unha campaña de vacinación urxente en resposta a un brote dunha nova enfermidade Alguén dixo Covid? Como, por desgraza, aprendemos aló polos anos 2020 e 2021, vacinar a toda a poboación é imposible nun primeiro momento. O que se fai é tratar de estender a inmunidade canto máis rápido mellor, procurando chegar ao maior número posible de persoas no menor tempo posible.

É nisto último no que este paradoxo pode axudar. Está probado que unha estratexia eficaz consiste en seleccionar ao azar certa poboación inicial para vacinala, facendo que cada membro apunte a unhas cantas amizades. O paradoxo asegura que estas amizades terán, de media, máis amizades que a persoa que as designou para a vacinación. Ao vacinar a estas persoas, que xa non están elixidas ao chou, como en promedio están en contacto con moitas outras persoas, a inmunidade avanza rapidamente. Deste xeito, non é preciso vacinar a toda a xente para limitar a propagación da enfermidade; sabemos que cunha porcentaxe moderada (non máis aló do 40 %) é suficiente para obter resultados significativos. Trátase dunha porcentaxe moito máis reducida da que sería necesaria de seguir un procedemento enteiramente aleatorio na selección das persoas vacinadas.

As máis vellas do lugar lembrarán tamén cando, hai unhas décadas, se comezaran a estender os Tupperware. A estratexia seguida para a súa implementación no mercado baseouse precisamente no paradoxo da amizade. Unhas poucas persoas eran contratadas como comerciais da marca, a comisión, e elas eran as encargadas de intentar “colocar” o produto. A quen recorrían? Pois sobre todo ás súas amizades, claro. Porque tal e como acabamos de aprender, as amizades das vendedoras tiñan, en promedio, máis amizades que as propias vendedoras, e así foi como o produto se espallou rapidamente e en pouco tempo estaba en todas as cociñas do país.

Non son poucos os exemplos do paradoxo da amizade. Nin os propios investigadores que se dedican a estudalo se escapan: se contamos as coautorías dun artigo científico, en promedio as coautorías de calquera persoa investigadora serán máis que as coautorías que ela mesma teña. E aínda máis resulta que tamén terán máis publicacións e máis citas… non hai forma de escapar ao paradoxo da amizade.

Algunhas referencias:

• Grima, Clara e Borja, Enrique F. (2017). Las mátemáticas vigilan tu salud: Modelos sobre epidemias y vacunas. Next Door Publishers, Pamplona.

• Grima, Clara (2018). ¡Que las matemáticas te acompañen! Editorial Planeta, Barcelona.

• Grima, Clara (2021). En busca del grafo perdido. Matemáticas con puntos y rayas. Editorial Planeta, Barcelona.

• López Beltrán, Mireia e Fornals Sánchez, Pura (2019). Una mirada distinta de las matrices. Los Libros de la Catarata, Madrid.