Ángulo óptimo de tiro

Se vostede practicou algo de fútbol, baloncesto ou golf terá escoitado algunha vez ese consello case intuitivo: «bota o brazo cara arriba, cun ángulo óptimo de tiro duns 45 graos, para que chegue máis lonxe». E, en efecto, hai unha sólida xustificación matemática detrás da recomendación. Pero, como veremos, cómpre matizar o que a primeira vista parece a realidade.

Cando lanzamos un proxectil (unha pelota, unha bala de canón, o peso en atletismo etc.) e ignoramos a resistencia do aire, o seu movemento descoñece calquera aceleración na dirección horizontal; só actúa a gravidade, e faino na dirección vertical. O resultado é un chamado ‘tiro parabólico’: a traxectoria debuxa unha parábola perfecta.

Intente imaxinar un lanzamento. Se se sitúa nun lugar dende o que vexa o percorrido da bóla lateralmente, vería como avanza horizontalmente a unha velocidade constante. Porén, se se coloca de tal xeito que vexa como a bóla vai xusto cara a vostede, o que vería é que a bóla sobe e logo baixa, de forma vertical e acelerada.

Así, a traxectoria da bóla é a resultante dun movemento uniforme horizontal xerado pola forza exercida polo lanzador e outro movemento vertical uniformemente acelerado ocasionado pola forza da gravidade. Se separamos a velocidade inicial v₀ nesas dúas compoñentes (horizontal e vertical) en función do ángulo de lanzamento α, obtemos, seguindo o esquema clásico de Galileo, as ecuacións do movemento:

   

g é a constante gravitatoria (9,8 m/s²) e h é a altura dende a que se solta o proxectil. Despexando o tempo na primeira ecuación e substituíndoo na segunda, chégase á ecuación da parábola que describe a traxectoria:

   

Se a bóla caese ao chan á mesma altura dende a que se lanza (é dicir, se h = 0), pódese calcular que o alcance máximo se acada precisamente cando α = 45º. É un resultado elegante e sinxelo, e por iso adoita ensinarse nos primeiros cursos de física como exemplo canónico de optimización mediante derivadas.

Porén, no deporte real case nunca se cumpre esa condición de partida. No lanzamento de peso, por exemplo, o atleta solta a bóla dende a altura do seu pescozo, non dende o chan, mentres que a bóla cae ao chan (h ≠ 0). Se se ten en conta esa diferenza de altura no cálculo, o ángulo óptimo xa non é 45°, senón que se reduce a uns 42°.

E aínda así, ese número segue sen cadrar coa realidade: as medicións feitas sobre os lanzamentos dos mellores atletas desta disciplina recollen, de forma consistente, ángulos que rondan os 37° – 38°. Hai, polo tanto, algo máis que a simple xeometría da altura que explica por que os atletas lanzan máis plano do que predí a teoría básica.

Os investigadores Alexander Lenz e Florian Rappl estudaron especificamente este problema do ángulo óptimo de tiro e propuxeron varios factores adicionais que, xuntos, empurran o ángulo óptimo cara a valores máis baixos:

• A xeometría do brazo. A altura dende a que realmente sae despedida a bóla non é exactamente a do pescozo do atleta, senón que inclúe un termo adicional que depende da lonxitude do brazo e do ángulo co que este se estende no momento do lanzamento. Ademais, canto maior é esa altura de solta, menor é o ángulo óptimo resultante; por iso, os atletas máis altos tenden a executar lanzamentos máis planos.

• O reparto da enerxía. A enerxía que o atleta imprime á bóla no lanzamento repártese entre unha compoñente cinética (velocidade) e unha compoñente potencial (altura). Como a distancia final do lanzamento depende da altura de forma lineal, pero do cadrado da velocidade, resulta máis rendible investir esforzo en velocidade horizontal que en gañar altura, o que tamén favorece ángulos máis baixos.

• A biomecánica do empuxe. A experiencia no adestramento con pesas amosa que os atletas son capaces de aplicar máis potencia cando empuxan cun ángulo próximo aos 0° que cando o fan con ángulos maiores. É dicir, canto máis vertical é o empuxe, menos forza pode imprimir o corpo humano.

Estes tres efectos actúan na mesma dirección –todos favorecen ángulos menores– e, xuntos, permiten explicar por que os mellores lanzadores de peso sosteñen sistematicamente ángulos de 37° – 38°, moi por baixo dos 45° (ou incluso dos 42°) que predí o modelo puramente xeométrico.

O caso do lanzamento de peso é especialmente interesante porque, ao ser un obxecto pesado e compacto, apenas se ve afectado polo vento, e por iso permite illar o efecto da altura de lanzamento e da biomecánica sen ter que preocuparse pola resistencia do aire. Pero noutros deportes, coma o fútbol, esa resistencia si xoga un papel moi relevante.

Como sinala Raúl Rojas no seu libro El fútbol bajo el microscopio, cando hai resistencia do aire «un ángulo de ataque menor proporciona máis alcance». A explicación é sinxela: canto máis tempo pasa un proxectil no aire –como ocorre cando se lanza cun ángulo alto–, máis enerxía cinética horizontal perde por mor do rozamento co aire. Por iso, os porteiros adoitan despexar o balón cun ángulo ben inferior a 45°, e a quen segue a física “de manual” iso chégalle a resultar chocante, até o punto de berrarlle ao televisor que debería despexar máis alto… cando, en realidade, o porteiro está a facer o correcto.

Tanto no lanzamento de peso coma no fútbol, o “erro” respecto ao 45° teórico do ángulo óptimo de tiro non é en absoluto un fallo da física, senón un exemplo marabilloso de como funcionan os modelos científicos. O cálculo de 45° é perfectamente correcto baixo unhas hipóteses concretas moi simplificadas. En canto engadimos realismo –unha altura de lanzamento distinta da de caída, a biomecánica do corpo humano ou a resistencia do aire–, o modelo hai que refinalo, e o ángulo óptimo baixa progresivamente.

É un padrón que se repite constantemente na ciencia: primeiro resolvemos o problema simplificado, que achega intuición e un punto de partida, e despois engadimos capas de realismo que nos achegan progresivamente ao comportamento real. O 45° “de manual” segue sendo un bo punto de referencia e un excelente exercicio pedagóxico, pero calquera bo lanzador de peso ou porteiro sabe, aínda que sexa de forma intuitiva e sen ecuacións, que a realidade pide un pouco menos.

Relacionado con isto:

• González Ogando, Paulo (2022). Matemáticas y deporte. Los Libros de la Catarata, Madrid.

• Lenz, Alexander e Rappl, Florian (2010). The optimal angle of Release in Shot Put.Dispoñible en: <https://arxiv.org/abs/1007.3689>

• Rojas González, Raúl (2022). El fútbol bajo el microscopio. Fondo de Cultura Económica, Ciudad de México.

• Scientific American (2010): How should you lunch a ball to achieve the greatest distance? Dispoñible en: <https://www.scientificamerican.com/article/football-projectile-motion/>