Bocados matemáticos | paulo.gal

O problema isoperimétrico

02/11/202401/11/2024 por Paulo González Ogando

As raíces do problema isoperimétrico podemos atopalas xa no libro IV da Eneida, onde Virgilio (70 a.C. – 19 a.C.) recolle unha lenda sobre a orixe da cidade Cartago. A historia que conta ocorre aló polo século IX a.C.: a princesa Dido tivo que fuxir de Tiro porque seu irmán Pigmalión cobizaba certa fortuna (o diñeiro, sempre o diñeiro), e levando consigo todo un tesouro, Dido chegou á costa do norte de África, onde procurou a compra duns terreos a un rei local para poder construír alí unha cidade.

Multiplicar e dividir fraccións

06/09/2024 por Paulo González Ogando

As operacións con fraccións parecen causar bastantes dificultades aos nosos escolares. No caso da suma e a resta o obstáculo semella máis computacional que comprensivo, pois son máis doadas de interpretar, pero o seu cálculo require reducir as fraccións a común denominador; é este último o paso que adoita atragoarse a unha cantidade nada desdeñosa de estudantes.

Porén, multiplicar e dividir fraccións adoita ofrecer menos problemas de cálculo, pero máis de entendemento. Quizais porque deseguida dominan as contas, os estudantes rapidamente dan por sabidas estas operacións e deixan a un lado a comprensión conceptual, o porqué de facérmolas coma as facemos. De aí que as vaiamos retomar nas liñas seguintes.

O ISSN

09/08/2024 por Paulo González Ogando

ISSN provén de International Standard Serial Number, ou traducido ao galego Número Internacional Normalizado de Publicacións Seriadas. Trátase dun código numérico recoñecido internacionalmente para a identificación de publicacións seriadas. Así, o seu uso consiste en identificar univocamente unha colección, evitando posibles erros na transcripción da información bibliográfica pertinente.

Ao falar de publicacións seriadas, referímonos a aquelas que se publican en partes sucesivas baixo un título común. Nesta definición entran revistas, xornais, boletíns, anuarios, actas de congresos e outras series polo estilo. Ademais este estándar non está restrinxido a edicións impresas en papel, senón que tamén cobre edicións en liña ou formatos de presentación coma o DVD.

O paradoxo de Grelling-Nelson

12/07/2024 por Paulo González Ogando

Un campo que fai agromar un bo feixe de paradoxos é o das autorreferencias; entre eles os máis coñecidos seguramente sexan o do mentiroso ou o do barbeiro que afeita a todos aqueles que non se afeitan a si mesmos. Neste apartado imos explorar outra situación análoga, que foi formulada por Kurt Grelling (1886-1942, figura 1 á esquerda) e Leonard Nelson (1882-1927, figura 1 á dereita) no ano 1908. No típico alarde de orixinalidade, coñécese coma o paradoxo de Grelling-Nelson.

Pense vostede en adxectivos, cantos máis se lle ocorran mellor. E vaia clasificándoos en autolóxicos e heterolóxicos do seguinte xeito: un adxectivo é ‘autolóxico’ se e só se se describe a si mesmo, mentres que un adxectivo é ‘heterolóxico’ se e só se non se describe a si mesmo. Por exemplo, galego, lexible ou esdrúxula son autolóxicas, e por contra infinito, longa ou monosilábico son heterolóxicas.

A curva de Hilbert

14/06/2024 por Paulo González Ogando

A curva de Hilbert é unha construción xeométrica moi doada de elaborar e que conta cunhas propiedades ben curiosas. Para coñecela, o primeiro que se debe facer é definila, e iso faise mediante un algoritmo recursivo (vostede pode intentar debuxala con lapis e papel seguindo a definición, ou pode optar por observar directamente a figura 1, onde aparecen as primeiras etapas do proceso):

Falacia da acusación

17/05/202417/05/2024 por Paulo González Ogando

Hoxe volvemos aos xulgados, onde non hai moito estivemos xa acompañando a Protágoras. Volvemos ás salas onde se imparte xustiza e nas cales unha ampla maioría da poboación confiamos con firmeza. Alí podemos atopar con certa frecuencia un erro estatístico coñecido polo nome de ‘a falacia da acusación’ ou ‘a falacia do fiscal’.

O ‘x’ como incógnita

19/04/2024 por Paulo González Ogando

O uso da letra x como incógnita nas matemáticas e máis concretamente na álxebra é unha desas cuestións que transcenden esa ciencia. Moitas persoas poden non recordar gran cousa das matemáticas que estudaron na escola nin terse achegado a elas dende entón, pero por moitos anos que pasasen rapidamente asocian o x coas matemáticas.

Os códigos de barras

22/03/2024 por Paulo González Ogando

Noutro apartado falamos do ISBN, o código que identifica cada libro de xeito unívoco. E mostramos unha imaxe dun código de barras que incluía os díxitos correspondentes a un certo ISBN. Aquel apartado estaba dedicado a explicar en que consiste o ISBN, e agora imos proceder a botar unha ollada a outro tipo de códigos, que están presentes na maioría de artigos que calquera de nós podemos comprar, dende un libro na libraría até a comida no supermercado: os códigos de barras.

Polígonos regulares con regra e compás

25/02/202423/02/2024 por Paulo González Ogando

Xa se falou aquí da xeometría clásica das construcións con regra e compás e da imposibilidade dentro dela da realización dos tres problemas clásicos: a duplicación do cubo, a trisección do ángulo e a cuadratura do círculo. Imos retomar o tema para falarmos nesta ocasión de polígonos regulares construíbles con regra e compás.

Os tres problemas clásicos da regra e o compás

19/01/2024 por Paulo González Ogando

Por influencia da escola pitagórica, os matemáticos da Antiga Grecia concedían gran importancia á xeometría. Dentro desta, gozaban de especial consideración as construcións con regra e compás. O cal non quere dicir que construíran todas as súas figuras planas coa axuda de unicamente estes dous utensilios, senón máis ben que estaban convencidos de que tales construcións eran as máis elegantes. Pero tampouco lles valían todas, e así na xeometría clásica as construcións con regra e compás entendíanse coma o trazado de puntos, segmentos de recta e circunferencias usando exclusivamente unha regra e un compás idealizados. Entre elas atópanse tres construcións que pola súa importancia e relevancia deron en ser chamadas ‘os tres problemas clásicos da regra e o compás’.

Dados non transitivos

22/12/2023 por Paulo González Ogando

Nas matemáticas gozamos cos xogos de azar. Non tanto buscando un beneficio económico nin motivados por unha competitividade que nos leve a buscar incansablemente a vitoria, senón máis ben polo reto intelectual que supón a súa análise. Trátase de estudar aspectos tales coma se se trata dun xogo xusto ou se a medio prazo hai unha perda/ganancia esperada. Ou tamén se algún dos xogadores mantén unha posición gañadora, é dicir, se un dos contendentes pode gañar todas as partidas sen importar a estratexia que siga o seu rival.

O paradoxo de Protágoras

24/11/2023 por Paulo González Ogando

Nesta entrada imos coñecer o paradoxo de Protágoras (485 a.C. – 411 a.C.), que foi un filósofo grego que non debemos confundir con Pitágoras, nome moito máis coñecido grazas ao famoso teorema que leva o seu nome. Contemporáneo de Sócrates e experto en retórica, Platón acredítao coma o inventor do papel de sofista profesional, aquel que toma por oficio o ensino da sabedoría. Non é mal choio. Protágoras percorría a Grecia Antiga cobrando taxas polos seus coñecementos sobre como falar en público ou sobre o correcto uso e pronunciación das palabras.

Área do triángulo

27/10/2023 por Paulo González Ogando

O problema isoperimétrico consiste en atopar a curva que maximiza a área da rexión que encerra, tendo esta un perímetro fixo. Este estudo leva a observar cómo o perímetro e a área dunha figura teñen unha relación inestable, e isto faise patente xa cunha forma tan elemental coma é o triángulo. Na figura 1 vense cinco triángulos todos coa mesma área (comparten base e teñen a mesma altura, e así o será se o vértice oposto á base común xace sobre unha paralela a ela) pero non o mesmo perímetro. Nesta entrada imos facer algunhas consideracións precisamentre respecto da área do triángulo.

O Xogo da Vida

01/09/2023 por Paulo González Ogando

The Game of Life, en galego O Xogo da Vida, foi unha das grandes contribucións que nos legou o xenial John Horton Conway (1937 – 2020, arrebatóunolo a COVID-19). Dotado dunha mente aguda, enxeñosa e en constante funcionamento, trátase dunha das personalidades máis rechamantes, admirables e influentes non só do século XX, senón de toda a historia das matemáticas. Recomendo encarecidamente a lectura da súa biografía, escrita por Siobhan Roberts. Paga a pena.

Criterios de divisibilidade

13/08/202307/07/2023 por Paulo González Ogando

Durante os anos escolares aprendemos un feixe de criterios de divisibilidade, que permiten decidir dun xeito moi doado se un número dado é divisible ou non por 2, 3, 4, 5, 9, 10 ou 11, sen necesidade de resolver a división. Obviamente, se dispomos dunha calculadora a conclusión é inmediata sen -case- esforzo; estes criterios son útiles na medida en que permiten aforrar cálculos a man por resultaren máis rápidos que completar o algoritmo da división. Iso si, vou avisando xa: esta entrada contén certa cantidade de cálculos con congruencias. Se a vostede se lle fai demasiado costa arriba, pode sen ningún medo prescindir desa parte; quede nese caso coa lectura dos criterios, entenda os exemplos e practique algún máis pola súa conta. Tamén lle ha prestar.

Napoleón e as matemáticas

13/08/202305/05/2023 por Paulo González Ogando

Habitualmente relacionamos a Napoleón Bonaparte (1769 – 1821, figura 1) cos manuais de Historia, o cal ten todo o sentido do mundo porque se trata dun personaxe histórico de gran relevancia. Como militar e estadista, creo que a súa incidencia no devir dos asuntos europeos do século XIX é innegable. Pero Napoleón e as matemáticas tamén atopan unha vinculación. Son incuestionables os seus éxitos como estratega militar, e en todo caso sería discutible se os seus triunfos poden estar motivados en parte polos seus coñecementos matemáticos, xa que parece ser que entre as súas virtudes estaba o perfecto uso da artillaría e a xenial colocación dos canóns para realizar bombardeos.

Emmy Noether precursora da álxebra moderna

13/08/202326/03/2023 por Paulo González Ogando

No eido da álxebra Emmy Noether (1882 – 1935) pode mirar aos ollos de calquera. De calquera. Remarco: de calquera. É o seu un campo moi teórico, dunha gran abstracción. Con todo, as súas aportacións matemáticas colócana nun lugar destacado da historia desta disciplina. Quizais non no primeirísimo chanzo (o de Arquímedes, Newton, Euler ou Gauss), pero poucas dúbidas teño da súa pertenza ao seguinte. Non pode haber unha monografía de historia da álxebra, por curta que sexa, que non inclúa a Noether: ela marca en gran medida o inicio do desenvolvemento que nos levaría á álxebra moderna que plasmaría o movemento bourbakista, ese que tanto influíu nas matemáticas do século XX que chegou incluso ás aulas de secundaria do noso país. Pero ollo, que sen Noether nunca habería Bourbaki. Emmy Noether, precursora da álxebra moderna.

O paradoxo de Braess

13/08/202324/02/2023 por Paulo González Ogando

Algo que moito me fascina é o carácter abraiante dos paradoxos. Resultan chocantes, estraños e até incribles. Incluso en ocasións obrigan a que releamos o texto para convencernos de que realmente o que acabamos de ler ten algún sentido. Nas próximas liñas vai vostede ler sobre un deses que ao coñecelo deixa a cabeza abaneando coa impresión. Prepárese para coñecer o paradoxo de Braess.